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Komplexe Fourierreihen

Komplexe Fourierreihe - Einführung

Die Übertragung vom Reellen ins Komplexe ist unproblematisch. Statt einer reell- betrachten wir eine komplexwertige Funktionen f , die aber weiterhin von einer reellen Variablen t abhängt. f sei periodisch mit der Periode 2 τ , wobei τ irgend eine positive reelle Zahl bezeichnet. Periodizität ist genauso definiert wie für reellwertige Funktionen. Es geht um die Darstellung von f als Reihe

f ( t ) = n = - c n e i n π t / τ

mit komplexen Koeffizienten c n , deren Index n alle ganzen Zahlen, die negativen wie die nichtnegativen, durchläuft. Die rechte Seite von wird Fourierreihe von f genannt. Ähnlich wie die Funktionen (Reelle Fourierreihe - Einführung) im Reellen, erfüllen die Funktionen

e - i 2 π t / τ , e - i 1 π t / τ , e i 0 π t / τ , e i 1 π t / τ , e i 2 π t / τ ,

die ganz offensichtlich alle 2 τ -periodisch sind, im Komplexen eine Orthogonalitätsrelation: für beliebige m , n gilt

- τ + τ ( e i m π t / τ ) * e i n π t / τ d t = 0 falls m n 2 τ falls m = n

(den Beweis erbringt man leicht selbst). Warum die erste e -Funktion unter dem Integralzeichen mit dem * für das konjugiert Komplexe versehen wurde, hat einen tieferen Sinn, auf den wir aber nicht eingehen können. Die Formel ließe sich natürlich auch ohne den * schreiben. In wird über komplexwertige Funktionen integriert. Falls dies nicht vertraut ist, siehe Integration komplexwertiger Funktionen. Die Begriffe Fouriersynthese und Fourieranalyse haben die gleiche Bedeutung wie im reellen Fall. Wir behandeln zuerst und vor allem die Analyse. Was über Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen gesagt wurde, gilt auch im komplexen Fall, steht uns also zur Verfügung. Zunächst werden wir eine Formel für die Koeffizienten c n herleiten, unter Voraussetzung der gleichmäßigen Konvergenz der Fourierreihe gegen f . Anwenden lässt sich die Formel auch unter schwächeren Voraussetzungen, nur ist dann nicht klar, ob und in welchem Sinne die Fourierreihe gegen f konvergiert. Das werden wir anschließend klären. Das Vorgehen ist also ganz analog wie im reellen Fall.

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