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Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen

Beweis einiger Sätze über punktweise Konvergenz

Wir begnügen uns mit dem Beweis der ersten beiden Sätze; die der anderen kann der interessierte Leser in der Literatur nachschlagen. Es sind gewisse Vorbereitungen durchzuführen. Um einen bestimmten Begriff kennen zu lernen, der in der Literatur einen festen Platz hat (Dirichlet´scher Kern), machen wir dabei einen kleinen Umweg. Wir betrachten eine 2 τ -periodische Funktion f , von der wir vorerst nichts außer ihrer Integrierbarkeit über das Intervall [ - τ , τ ] voraussetzen.

Dirichletscher Kern

Sei t eine beliebige, aber feste reelle Zahl. Ersetzen wir in der Formel (Reelle Fourierreihe - Einführung) für f N ( t ) die Fourierkoeffizienten a 0 , a n , b n durch die entsprechenden rechten Seiten ihrer Bestimmungsgleichungen (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) (die Integrationsvariable muss natürlich umbenannt werden; sagen wir, in t ' ), so ergibt die Rechnung

f N ( t ) = 1 2 a 0 + n = 1 N a n cos n π t τ + b n sin n π t τ = 1 2 1 τ - τ + τ f ( t ' ) d t ' + n = 1 N 1 τ - τ + τ cos n π t ' τ f ( t ' ) d t ' cos n π t τ + 1 τ - τ + τ sin n π t ' τ f ( t ' ) d t ' sin n π t τ = 1 τ - τ + τ f ( t ' ) 1 2 + n = 1 N cos n π t ' τ cos n π t τ + sin n π t ' τ sin n π t τ d t ' = 1 τ - τ + τ f ( t ' ) 1 2 + n = 1 N cos n π ( t ' - t ) τ d t '  .

Für das letzte Gleichheitszeichen haben wir eines der Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen verwendet. Definieren wir eine 2 π -periodische Funktion D N von x durch

D N ( x ) : = 1 2 + n = 1 N cos ( n x ) ,

so nimmt die Form

f N ( t ) = 1 τ - τ + τ f ( t ' ) D N π ( t ' - t ) τ d t '

an. Die Funktion D N heißt N -ter Dirichlet´scher Kern. Sie lässt sich in eine einfachere Form als bringen, da nämlich gilt:

1 2 + n = 1 N cos ( n x ) = sin N + 1 2 x 2 sin x 2 .

Zwar ist die rechte Seite für diejenigen x , die ein ganzzahliges Vielfaches von 2 π sind, undefiniert (unbestimmter Ausdruck vom Typ 0 / 0 ), was unsere Rechnung aber nicht stören wird. Der Beweis von stellt übrigens eine interessante Anwendung der geometrischen Summenformel im Komplexen dar.

Wir benötigen noch das Integral von D N über [ - π , π ] (es ist offensichtlich, dass D N über dieses Intervall integrierbar ist). Dazu gehen wir am besten von der Definitionsgleichung aus:

- π + π D N ( x ) d x = 1 2 - π + π d x + n = 1 N - π + π cos ( n π ) d x = 1 2 2 π + 0 + + 0 = π

(für das vorletzte Gleichheitszeichen beachte man die Orthogonalitätsrelationen). Also

1 π - π + π D N ( x ) d x = 1 .

Wir haben nun alle Hilfsmittel beisammen, um die angekündigten Beweise durchzuführen.

Erster Fall: f ist an der Stelle t differenzierbar

Kehren wir zu Gleichung zurück. Es ist sinnvoll, im Integral die Substitution x = π ( t ' - t ) / τ durchzuführen. Das liefert

f N ( t ) = 1 π - π t / τ - π - π t / τ + π f t + τ π x D N ( x ) d x .

Man überlegt sich leicht, dass f ( t + ( τ / π ) x ) , betrachtet als Funktion von x mit festem t , 2 π -periodisch sein muss. D N ( x ) hängt, wie wir weiter oben feststellten, ebenfalls 2 π -periodisch von x ab. Also gilt dies für den ganzen Integranden. Dann aber dürfen wir den Integrationsbereich durch ein beliebiges Intervall der Länge 2 π ersetzen, also auch durch [ - π , π ] . Tun wir dies, nimmt die letzte Gleichung die Gestalt

f N ( t ) = 1 π - π + π f t + τ π x D N ( x ) d x

an. Wir subtrahieren jetzt auf beiden Seiten f ( t ) und wenden einen kleinen Trick an: Wir schreiben f ( t ) rechts als f ( t ) 1 und ersetzen die 1 durch die linke Seite von , anschließend ziehen wir das f ( t ) , das ja bezüglich der Integration über x eine Konstante ist, in das Integral hinein und fassen zusammen. Das Ganze noch einmal in Formeln:

f N ( t ) - f ( t ) = 1 π - π + π f t + τ π x D N ( x ) d x - f ( t ) = 1 π - π + π f t + τ π x D N ( x ) d x - f ( t ) 1 = 1 π - π + π f t + τ π x D N ( x ) d x - f ( t ) 1 π - π + π D N ( x ) d x = 1 π - π + π f t + τ π x D N ( x ) d x - 1 π - π + π f ( t ) D N ( x ) d x = 1 π - π + π f t + τ π x - f ( t ) D N ( x ) d x .

Dem Leser wird klar sein, worauf das ganze hinauslaufen soll: zu zeigen, dass die Differenz f N ( t ) - f ( t ) für N gegen Null geht, denn damit wäre auch die Konvergenz von f N ( t ) gegen f ( t ) für N bewiesen (um die es hier geht). Mit der Abkürzung

Φ ( x ) : = f t + τ π x - f ( t ) 2 sin x 2

und unter Berücksichtigung der Darstellung für den Dirichlet´schen Kern nimmt die einfachere Form

f N ( t ) - f ( t ) = 1 π - π + π Φ ( x ) sin N + 1 2 x d x

an. Diese Umformung des Integranden ist zunächst nur für x 0 gültig, da Φ ( x ) und die rechte Seite von für x = 0 undefiniert sind. Φ ( x ) lässt sich aber an dieser Stelle stetig ergänzen und der Integrand dann für alle x [ - π , π ] wie in schreiben. Erbringen wir den Beweis. Dazu machen wir zum ersten Mal von unserer Voraussetzung Gebrauch, dass f an der Stelle t differenzierbar ist. Gemäß dieser Voraussetzung existiert lim h 0 ( f ( t + h ) - f ( t ) ) / h = f ' ( t ) . Dann aber existiert auch der folgende Grenzwert und hat den angegebenen Wert:

lim x 0 f t + τ π x - f ( t ) x = τ π f ' ( t ) .

Für x [ - π , π ] , x 0 , können wir schreiben:

Φ ( x ) = x 2 sin x 2 f t + τ π x - f ( t ) x .

Lassen wir x gegen 0 gehen, so konvergiert der erste Faktor auf der rechten Seite gegen 1 , wie man mit Hilfe der Regel von de l' Hospital leicht nachprüft, und der zweite gegen ( τ / π ) f ' ( t ) , wie gerade gezeigt wurde. Also

lim x 0 Φ ( x ) = τ π f ' ( t ) .

Setzen wir Φ ( 0 ) gleich dem Ausdruck auf der rechten Seite, so ist Φ ( x ) als Funktion von x [ - π , π ] überall definiert und stetig, und die Integranden in (letztes Gleichheitszeichen, rechte Seite) und stimmen punktweise überein. Um die Konvergenz der rechten Seite von gegen Null für N zu beweisen, machen wir von der Konsequenz der Bessel´schen Ungleichung Gebrauch. Zuvor sind einige Rechenschritte nötig. Es gilt

sin N + 1 2 x = sin N x + 1 2 x = sin ( N x ) cos ( 1 2 x ) + cos ( N x ) sin ( 1 2 x ) ,

wobei wieder eines der Additionstheoreme zum Einsatz kam. Wir definieren zwei Funktionen Ψ 1 , Ψ 2 durch

Ψ 1 ( x ) : = Φ ( x ) cos ( 1 2 x ) bzw. Ψ 2 ( x ) : = Φ ( x ) sin ( 1 2 x )

für alle x [ - π , π ] (und 2 π -periodische Fortsetzung auf ganz , wenn wir wollen, dass bei der jetzt folgenden Anwendung besagter Konsequenz aus der Bessel´schen Ungleichung alle, auch unwesentliche Voraussetzungen erfüllt sind). Offenbar

- π + π Φ ( x ) sin N + 1 2 x d x = - π + π Ψ 1 ( x ) sin ( N x ) d x + - π + π Ψ 2 ( x ) cos ( N x ) d x .

Wenden wir jetzt die Gleichungen (Bessel´sche Ungleichung) mit Ψ 1 bzw. Ψ 2 in der Rolle des dortigen f ' s an, so erkennen wir, dass dieser Ausdruck in der Tat für N gegen Null geht. Der erste Satz ist damit bewiesen.

Zweiter Fall: f ist an der Stelle t rechts- und linksseitig differenzierbar

Wir setzen zur Abkürzung

y : = f ( t + ) + f ( t - ) 2 ,

erhalten aber einen tieferen Einblick in die Materie, wenn wir y zunächst eine beliebige reelle Zahl sein lassen. Offenbar kann die Rechnung von eben bis einschließlich , mit f ( t ) ersetzt durch y , übernommen werden. Das führt zu

f N ( t ) - y = 1 π - π + π f t + τ π x - y D N ( x ) d x .

Flüchtig betrachtet scheint es, als könnten wir auch weiter wie eben verfahren; d.h.: Definition einer Funktion

Φ ( x ) : = f t + τ π x - y 2 sin x 2 ,

Aufstellen der Gleichung , Einführung von Ψ 1 und Ψ 2 wie in , schließlich Anwendung der Folgerungen aus der Bessel´schen Ungleichung. Dass hier jedoch etwas nicht stimmt, sehen wir schon daran, dass damit die Konvergenz von f N ( t ) gegen die - ganz beliebig wählbare - Zahl y bewiesen wäre. Die Erklärung liegt in dem Umstand, den wir bei der Aufzählung gerade unterschlagen, im vorigen Abschnitt jedoch berücksichtigt haben: die Verhältnisse an der Stelle x = 0 . Im vorigen Abschnitt hatten wir uns davon überzeugt, dass Φ als auf ganz [ - π , π ] stetige, damit auch beschränkte und damit integrierbare Funktion definiert werden kann; dann aber sind Ψ 1 und Ψ 2 ebensolche Funktionen und (Bessel´schen Ungleichung) ist tatsächlich anwendbar. Wie sieht es hier aus? Ψ 1 und Ψ 2 lassen sich als

Ψ 1 ( x ) = f t + τ π x - y cot x 2

bzw.

Ψ 2 ( x ) = f t + τ π x - y

schreiben (man überzeuge sich davon). Da f nach Voraussetzung integrierbar über [ - τ , τ ] ist, ist es Ψ 2 über [ - π , π ] , da beide Funktionen trivial auseinander hervorgehen. Bei Ψ 1 hingegen kommt es auf die genaue Gestalt von f sowie auf t und y an. Ist z.B. f die Rechteckkurve, t = 0 und y = 1 , so ist Ψ 1 ( x ) gleich 0 für - π x < 0 , gleich -2 cot ( x / 2 ) für 0 < x π , und an der Stelle x = 0 hat Ψ 1 eine Singularität, wegen der Ψ 1 nicht über [ - π , π ] integrierbar, somit (Bessel´schen Ungleichung) nicht anwendbar ist.

Kehren wir zu unserer Aufgabe zurück. Ab jetzt sei y nicht mehr beliebig, sondern durch festgelegt. Im vorigen Abschnitt hatten wir die Differenzierbarkeit von f an der Stelle t ausgenutzt. Hier werden wir die links- und rechtsseitige Differenzierbarkeit von f nutzen. Dazu ist ein kleiner Kunstgriff nötig. Zunächst zerlegen wir die rechte Seite von wie folgt:

f N ( t ) - y = 1 π - π 0 f t + τ π x - y D N ( x ) d x + 1 π 0 + π f t + τ π x - y D N ( x ) d x .

Dann führen wir im ersten Integral die Substitution x ' = - x durch, benennen die neue Integrationsvariable x ' anschließend wieder in x um und nehmen eine triviale Umformung ( - + π 0 d x = 0 + π d x ) vor. Damit ergibt sich

f N ( t ) - y = 1 π 0 + π f t - τ π x - y D N ( - x ) d x + 1 π 0 + π f t + τ π x - y D N ( x ) d x .

Aus ist unmittelbar abzulesen, dass D N eine gerade Funktion ist. Demnach D N ( - x ) = D N ( x ) , also

f N ( t ) - y = 1 π 0 + π f t - τ π x - y D N ( x ) d x + 1 π 0 + π f t + τ π x - y D N ( x ) d x = 1 π 0 + π f t - τ π x + f t + τ π x - 2 y D N ( x ) d x .

Definieren wir Φ durch

Φ ( x ) : = f t - τ π x + f t + τ π x - 2 y sin x 2

für 0 < x π und

Φ ( x ) : = 0

für - π x < 0 und benutzen die Darstellung des Dirichlet´schen Kerns, so können wir schreiben:

f N ( t ) - y = 1 π - π + π Φ ( x ) sin N + 1 2 x d x .

Allerdings müssen wir uns noch die Stelle x = 0 genauer ansehen. Dort wird nämlich der Nenner von Null, was die Gefahr in sich birgt, dass Φ ( x ) für x 0 + ins Unendliche wächst. Wir können jedoch beweisen, dass dem nicht so ist. Dazu setzen wir in für y gemäß ein, erweitern mit x und erhalten

Φ ( x ) = x sin x 2 f t - τ π x - f ( t - ) x + f t + τ π x - f ( t + ) x .

Lassen wir jetzt x von rechts kommend gegen 0 gehen (d.h. x 0 wobei x > 0 ), so konvergiert der Ausdruck vor der großen Klammer gegen 1 , die beiden in der Klammer gegen ( τ / π ) f ' ( t - ) bzw. ( τ / π ) f ' ( t + ) (man rechne das nach). Also

lim x 0 + Φ ( x ) = τ π f ' ( t - ) + f ' ( t + ) .

Entscheidend ist nur, dass der Grenzwert existiert. Geben wir Φ ( 0 ) diesen Wert, so ist Φ zwar i. Allg. nicht auf dem ganzen Intervall [ - π , π ] stetig, sondern hat eine Sprungstelle bei x = 0 , aber stetig auf [ 0 , π ] und Null auf [ - π , 0 ] . Das und die daraus folgende Beschränktheit von Φ garantieren die Integrierbarkeit von Φ . Das Verschwinden der rechten Seite von für N , und damit die Konvergenz von f N ( t ) gegen y , lässt sich nun genauso zeigen wie im vorigen Abschnitt das Verschwinden der rechten Seite von .

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