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Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen

Bessel´sche Ungleichung

Die Beweise der vorangegangenen Sätze sind verhältnismäßig aufwendig und wenig lehrreich, wir übergehen sie daher. Der interessierte Leser kann sie in der Literatur nachschlagen, die auf der nächsten Seite angegeben wird. Um uns wenigstens teilweise mit den mathematischen Hintergründen zu befassen, beweisen wir eine etwas schwächere Aussage als Konvergenz im quadratischen Mittel. Betrachten wir wieder eine 2 τ -periodische, über [ - τ , τ ] integrierbare Funktion f . Für jedes N ist

- τ + τ ( f ( t ) - f N ( t ) ) 2 d t = - τ + τ f ( t ) 2 d t + - τ + τ f N 2 ( t ) d t - 2 - τ + τ f ( t ) f N ( t ) d t ,

wobei f N die übliche Bedeutung haben soll. Setzen wir für f N ( t ) gemäß Gleichung (Reelle Fourierreihe - Einführung) ein und berücksichtigen die Orthogonalitätsrelationen (Reelle Fourierreihe - Einführung) , so ergibt sich

- τ + τ f N 2 ( t ) d t = τ 1 2 a 0 2 + n = 1 N a n 2 + b n 2 .

Der ausführliche Beweis wird in Kürze nachgetragen. Mit Hilfe der Formeln

a n = 1 τ - τ + τ cos n π t τ f t d t

(siehe Link) für die Fourierkoeffizienten ergibt sich ferner

- τ + τ f ( t ) f N ( t ) d t = 1 2 a 0 - τ + τ f ( t ) d t + n = 1 N a n - τ + τ cos n π t τ f ( t ) d t + b n - τ + τ sin n π t τ f ( t ) d t = τ 1 2 a 0 2 + n = 1 N a n 2 + b n 2 .

Demnach können wir schreiben:

- τ + τ ( f ( t ) - f N ( t ) ) 2 d t = - τ + τ f ( t ) 2 d t - - τ + τ f N 2 ( t ) d t .

Der Satz von der Konvergenz im quadratischen Mittel besagt nun, dass die linke und damit auch die rechte Seite für N gegen Null geht, was, werfen wir einen Blick auf Gleichung , gleichbedeutend ist mit

lim N τ 1 2 a 0 2 + n = 1 N a n 2 + b n 2 = - τ + τ f ( t ) 2 d t ,

d.h. der Grenzwert existiert und hat den angegebenen Wert. Wir wollen statt dessen die schwächere Aussage

lim N τ 1 2 a 0 2 + n = 1 N a n 2 + b n 2 - τ + τ f ( t ) 2 d t

beweisen, natürlich ohne den Satz von der Konvergenz im quadratischen Mittel zu benutzen. heißt Bessel´sche Ungleichung.

Wir tragen zunächst den Beweis von nach. Es ist sinnvoll, den Kosinus- und Sinusfunktionen, aus denen f N zusammengesetzt ist, eine neue Nummerierung zu geben und die konstante Funktion cos ( 0 π t / τ ) = 1 außerdem mit einem Faktor zu multiplizieren. Wir setzen

ξ 0 ( t ) : = 1 2 ,

ferner

ξ 2 n ( t ) : = cos n π t τ

und

ξ 2 n -1 ( t ) : = sin n π t τ

für alle n (die Gleichungen mögen jeweils für alle t gelten). ξ 0 ( t ) entspricht cos ( 0 π t / τ ) , besagter Faktor ist also 1 / 2 . Weiter ist es sinnvoll, für beliebige 2 τ -periodische, über [ - τ , τ ] integrierbare Funktionen φ , ψ die Abkürzung

( φ | ψ ) : = - τ + τ φ ( t ) ψ ( t ) d t

einzuführen. Man prüft leicht nach, dass die Orthogonalitätsrelationen (Reelle Fourierreihe - Einführung) nunmehr die einfache Form

( ξ j | ξ k ) = τ falls j = k 0 falls j k

annehmen. Wir nummerieren auch die Fourierkoeffizienten wie folgt um und multiplizieren a 0 mit einem Faktor. Sei

c 0 : = 2 2 a 0

sowie

c 2 n : = a n

und

c 2 n -1 : = b n

für alle n . Die Funktion f N lässt sich dann als

f N ( t ) = k = 0 2 N c k ξ k ( t )

schreiben. -- Die Formeln und haben einen tieferen Sinn, auf den wir aber nicht weiter eingehen können. Nur so viel: 2 τ -periodische, über [ - τ , τ ] integrierbare Funktionen können als verallgemeinerte Vektoren aufgefasst werden. Für diese definiert ein Skalarprodukt. ξ 0 , ξ 1 , ξ 2 , ist so etwas wie eine Basis. bringt die Tatsache zum Ausdruck, dass die Basisvektoren orthogonal sind. Die Fourierreihe von f ist so etwas wie die Darstellung von f in dieser Basis, vergleichbar mit der Darstellung eines gewöhnlichen dreidimensionalen Vektors bezüglich einer Basis aus 3 D-Vektoren. -- Um zu beweisen, benötigen wir noch eine bestimmte Eigenschaft der Größe , nämlich die Linearität in beiden Eingängen. Darunter versteht man, dass ( d 1 φ 1 + d 2 φ 2 | ψ ) = d 1 ( φ 1 | ψ ) + d 2 ( φ 2 | ψ ) und ( φ | d 1 ψ 1 + d 2 ψ 2 ) = d 1 ( φ | ψ 1 ) + d 2 ( φ | ψ 2 ) für beliebige ( 2 τ -periodische, über [ - τ , τ ] integrierbare) Funktionen φ 1 , φ 2 , ψ , φ , ψ 1 , ψ 2 und beliebige reelle Konstanten d 1 , d 2 . Diese Eigenschaft prüft man mit Hilfe der bekannten Linearität des Integrals leicht selbst nach. Beachten wir alle bisherigen Resultate, erhalten wir ganz einfach

( f N | f N ) = j = 0 2 N c j ξ j | k = 0 2 N c k ξ k = j = 0 2 N k = 0 2 N c j c k ( ξ j | ξ k ) = k = 0 2 N τ c k 2 .

Wenn man genau hinsieht, ist der Ausdruck links vom ersten Gleichheitszeichen nichts anderes als der Ausdruck auf der linken Seite von . Drücken wir die c k gemäß wieder durch a 0 , a n und b n aus, so geht ferner, wie man leicht nachrechnet, der Ausdruck rechts vom letzten Gleichheitszeichen in den auf der rechten Seite von über. ist damit bewiesen.

Der Beweis der Bessel´schen Ungleichung lässt sich nun sehr rasch durchführen. Bringen wir in das zweite Integral rechts auf die andere Seite, berücksichtigen und führen die Abkürzung

S N : = τ 1 2 a 0 2 + n = 1 N a n 2 + b n 2

ein, erhalten wir

S N + - τ + τ ( f ( t ) - f N ( t ) ) 2 d t = - τ + τ f ( t ) 2 d t .

S N ist offenbar stets nichtnegativ. Das gleiche gilt für die beiden Integrale in . Demnach

0 S N - τ + τ f ( t ) 2 d t

für alle N . Wie aus hervorgeht, ist S N +1 = S N + τ ( a N +1 2 + b N +1 2 ) und damit, da τ ( a N +1 2 + b N +1 2 ) nichtnegativ ist,

S N S N +1

für alle N . und gemeinsam besagen, dass { S N } N eine beschränkte monotone Folge ist. Solche Folgen sind bekanntlich konvergent. Demnach existiert der Grenzwert auf der linken Seite von , und wegen ist er der rechten Seite von , womit die Bessel´sche Ungleichung bewiesen ist.

Wir leiten noch eine ebenso einfache wie nützliche Konsequenz dieser Ungleichung her. Wegen der gerade erwähnten Eigenschaften der Folge { S N } N muss S N +1 - S N , was (s. o.) gleich τ ( a N +1 2 + b N +1 2 ) ist, mit wachsendem N gegen Null gehen. Das aber ist offensichtlich nur möglich, wenn sowohl a n als auch b n für n gegen Null gehen. Denken wir an die a n und b n bestimmenden Formeln (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) , so erhalten wir

lim n - τ + τ cos n π t τ f ( t ) d t = 0

und

lim n - τ + τ sin n π t τ f ( t ) d t = 0 .

Wir werden später auf diese Gleichungen zurückkommen. Den Beweis des Satzes über die beste Approximation im quadratischen Mittel schenken wir uns ebenso wie den über die Konvergenz im quadratischen Mittel. Der interessierte Leser kann beide in der Literatur nachschlagen.

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