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Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen

Reelle Fourierreihe - Gleichmäßige Konvergenz

Es sei wieder eine 2 τ -periodische, über das Intervall [ - τ , + τ ] integrierbare Funktion f von nach gegeben. Für jedes ganzzahlige positive N sei f N durch Gleichung (Reelle Fourierreihe - Einführung) , in der für a n und b n die nach (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) berechneten Fourierkoeffizienten einzusetzen sind, definiert. Eine Vorbemerkung: Man kann allgemein zeigen, dass im Fall einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen die Grenzfunktion wieder stetig sein muss (Literatur). Offensichtlich sind alle f N stetig; also ist gleichmäßige Konvergenz von f N gegen f nur bei stetigem f möglich. Es fragt sich, welche Eigenschaften zu der Stetigkeit hinzukommen müssen, um diese notwendige Bedingung zu einer hinreichenden zu machen. Was die Mathematiker hierzu herausgefunden haben, geben wir in folgendem Satz wieder:

Theorem
Ist f auf dem Intervall [ - τ , + τ ] stetig und dort außerdem als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellbar oder stückweise monoton oder stückweise stetig differenzierbar, so konvergiert die Fourierreihe von f gleichmäßig gegen f .

Den Beweis findet man in der Literatur.

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