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Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen

Reelle Fourierreihe - Punktweise Konvergenz

Gegeben sei eine 2 τ -periodische, über das Intervall [ - τ , τ ] integrierbare Funktion f von nach und ein beliebiges t . Es gibt verschiedene Bedingungen, welche die Konvergenz der Fourierreihe (natürlich die von f ) gegen f im Punkt t garantieren. Z.B. gilt:

Theorem
Ist f im Punkt t differenzierbar, so konvergiert die Fourierreihe von f im Punkt t gegen f .

Dieses Resultat lässt sich noch so verfeinern, dass es auch etwas über das Verhalten der Fourierreihe aussagt, wenn f an der Stelle t nicht differenzierbar, ja nicht einmal stetig ist, sondern dort eine Sprungstelle hat. Dazu benötigen wir den Begriff der rechts- bzw. linksseitigen Differenzierbarkeit: f heißt an der Stelle t rechts bzw. linksseitig differenzierbar, wenn f ( t + ) bzw. f ( t - ) (der rechts- bzw. linksseitige Grenzwert von f ) und darüber hinaus der Grenzwert

f ( t + ) : = lim h 0 + f ( t + h ) - f ( t + ) h

bzw.

f ( t - ) : = lim h 0 - f ( t + h ) - f ( t + ) h

auch rechts- bzw. linksseitige Ableitung genannt, existiert. Folgendes gilt: Ist f im Punkt t rechts- und linksseitig differenzierbar, so konvergiert die Fourierreihe dort gegen den Mittelwert von f ( t + ) und f ( t - ) , d.h.

lim N f N ( t ) = f ( t + ) + f ( t - ) 2 .

Man beachte, dass die Anwendbarkeit dieses Satzes nicht auf solche Fälle beschränkt ist, in denen f tatsächlich bei t eine Sprungstelle aufweist. Ist f z.B. im Punkt t stetig, aber nicht differenzierbar, so dass f dort keinen „Sprung”, sondern nur einen „Knick” hat, so ist der Satz ebenfalls anwendbar. Er besagt dann, dass die Fourierreihe dort gegen f konvergiert (denn wegen der Stetigkeit haben wir f ( t + ) = f ( t - ) = f ( t ) ). - Die Voraussetzungen des Satzes lassen sich noch deutlich abschwächen:

Theorem
Ist f in einem Intervall [ τ - δ , τ + δ ] , δ > 0 , als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellbar, so existieren rechts- und linksseitiger Grenzwert f ( t + ) und f ( t - ) und die Fourierreihe konvergiert im Punkt t gegen deren Mittelwert, d.h., es gilt .

Bevor wir als Nächstes das ganze Intervall von - τ bis τ (und nicht nur den einen Punkt t ) betrachten, stellen wir einige Begriffe bereit. Wir nennen f auf [ - τ , τ ] stückweise monoton, wenn es reelle Zahlen

θ 0 , θ 1 , , θ n mit - τ = θ 0 < θ 1 < < θ n = τ

gibt, so dass f auf jedem offenen Intervall ( θ k , θ k +1 ) , k = 0 , 1 , , n -1 , monoton ist. Wir nennen f auf ( - τ , τ ) stückweise beschränkt differenzierbar, wenn es reelle Zahlen gibt, so dass f auf ( θ k , θ k +1 ) differenzierbar und die Ableitung f ( t ) , betrachtet als Funktion von t ( θ k , θ k +1 ) , beschränkt ist für jedes k = 0 , 1 , , n -1 . Schließlich nennen wir f auf ( - τ , τ ) stückweise stetig differenzierbar, wenn es reelle Zahlen gibt, so dass f auf ( θ k , θ k +1 ) differenzierbar und die Ableitung f ( t ) , betrachtet als Funktion von t ( θ k , θ k +1 ) , stetig ist und sich stetig auf das abgeschlossene Intervall [ θ k , θ k +1 ] fortsetzen lässt für jedes k = 0 , 1 , , n -1 . Aus der stückweise stetigen Differenzierbarkeit folgt die stückweise beschränkte Differenzierbarkeit. Es besteht folgender Satz:

Theorem
Ist f auf dem Intervall [ - τ , τ ] als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellbar oder stückweise monoton oder stückweise beschränkt differenzierbar oder stückweise stetig differenzierbar, so konvergiert die Fourierreihe von f in jedem Punkt t gegen den Mittelwert ( f ( t + ) + f ( t - ) ) / 2 aus rechts- und linksseitigem Grenzwert, die dort beide existieren, d.h. wir haben für alle t .

Die Beweise der hier vorgestellten Sätze sind recht aufwendig. Zwei davon befinden sich auf einer Extraseite, an die sich eine Literaturseite anschließt. Hierauf sei der interessierte Leser verwiesen.

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