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Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen

Reelle Fourierreihe - Konvergenz im quadratischen Mittel

Es gilt erfreulicherweise folgender Satz:

Theorem
Die Fourierreihe jeder 2 τ -periodischen, über das Intervall [ - τ , + τ ] integrierbaren Funktion f von nach konvergiert im quadratischen Mittel gegen f .

Der am Beweis interessierte Leser sei auf eine Extraseite - wo allerdings nur ein etwas schwächeres Resultat, die so genannte Bessel´sche Ungleichung, bewiesen wird - und auf die Literaturseite verwiesen. Bilden wir also gemäß Gleichung (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) die Fourierkoeffizienten a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , , b 1 , b 2 , b 3 , von f und dann für jedes N gemäß Gleichung (Reelle Fourierreihe - Einführung) die Funktion f N , so geht die Größe (Reelle Fourierreihe - Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen) , anschaulich die „mittlere quadratische Abweichung” zwischen f N und f , für unendlich werdendes N gegen 0. Dies läst sich durch ein Resultat ergänzen, das deshalb interessant ist, weil es etwas über die Approximation von f durch f N bei endlichem N aussagt. Wir benötigen zunächst den Begriff des trigonometrischen Polynoms. Sei N eine natürliche Zahl größer als 0 und g eine reellwertige Funktion der reellen Variablen t . g heißt trigonometrisches Polynom vom Grad N , wenn sich g als

g ( t ) = 1 2 α 0 + n = 1 N α n cos n π t τ + β n sin n π t τ

mit reellen Konstanten α 0 , α 1 , , α N , β 1 , β N schreiben lässt. Nun fragen wir: wie müssen bei festgehaltenem N diese Konstanten gewählt werden, damit die mittlere quadratische Abweichung zwischen g und f ,

- τ + τ g ( t ) - f ( t ) 2 d t

möglichst klein wird, g also in diesem Sinne f am besten approximiert? - Die Antwort ist α 0 = a 0 , α 1 = a 1 , , α N = a N , β 1 = b 1 , β N = b N , man erhält also die beste Approximation, wenn man die Konstanten gleich den (entsprechenden) Fourierkoeffizienten setzt. - Präziser:

Theorem
Für jedes feste N besteht für alle trigonometrischen Polynome g vom Grad N die Beziehung
- τ + τ g ( t ) - f ( t ) 2 d t - τ + τ f N ( t ) - f ( t ) 2 d t
mit Gleichheit genau dann, wenn g = f N .

Für Beweise siehe nochmals die Literaturseite.

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