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Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen

Reelle Fourierreihe - Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen

Es sind drei Konvergenzbegriffe wichtig: punktweise Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz und Konvergenz im quadratischen Mittel, wobei man bei der ersten noch zwischen Konvergenz in einem bestimmten Punkt und punktweiser Konvergenz schlechthin unterscheiden kann. Denken wir uns ein festes reelles τ > 0 vorgegeben und betrachten wir alle 2 τ -periodischen Funktion von nach . Sei f eine solche Funktion und f 1 , f 2 , f 3 eine Folge solcher Funktionen.

Zur punktweisen Konvergenz.

Punktweise Konvergenz:
Sei t beliebig, aber fest. Wir sagen, f N konvergiert im Punkt t für N gegen f , falls f N ( t ) für N gegen f ( t ) konvergiert (im üblichen Sinne für Zahlenfolgen - eine solche ist ja f 1 ( t ) , f 2 ( t ) , f 3 ( t ) ). Konvergiert f N in allen Punkten t gegen f , so sagen wir kurz, f N sei punktweise konvergent (schlechthin) gegen f .

Mit Konvergenz ist hier und auch in Zukunft Konvergenz für N gemeint; diese Sprachvereinfachung ist möglich, da wir den Folgenindex immer mit N bezeichnen und stets den Grenzprozess N betrachten.

Zur gleichmäßigen Konvergenz. Diesem Begriff nähern wir uns am besten, indem wir uns vor Augen führen, was genau punktweise Konvergenz schlechthin von f N gegen f bedeutet, nämlich: für jedes t gibt es zu jedem reellen ε > 0 ein N ( t , ε ) , so dass | f N ( t ) - f ( t ) | < ε für alle N N ( t , ε ) . Wie schon durch die Notation angedeutet, hängt N ( t , ε ) i. Allg. sowohl von ε als auch von t ab. Gibt es für jedes ε ein für alle t gemeinsames N ( t , ε ) , liegt gleichmäßige Konvergenz vor; präziser lautet die Definition:

Gleichmäßige Konvergenz
f N heißt gleichmäßig konvergent gegen f , wenn es zu jedem reellen ε > 0 ein N ( ε ) gibt, so dass
f N t - f t < ε für alle N N ε und alle t .

Anschaulich liegt der Unterschied zur (nur) punktweisen Konvergenz darin, dass f N im Fall gleichmäßiger Konvergenz „überall (d.h. für alle t ) gleich schnell” gegen f strebt (dem mit der Materie weniger vertrauten Leser wird empfohlen, sich den Unterschied noch weiter klarzumachen).

Zur Konvergenz im quadratischen Mittel. Dazu setzen wir voraus, dass f und alle Funktionen f 1 , f 2 , f 3 über das Intervall von - τ bis + τ integrierbar sind.

Konvergenz im quadratischen Mittel
Wir sagen, f N konvergiert im quadratischen Mittel gegen f , wenn
- τ + τ f N t - f t 2 d t
(für N ) gegen 0 geht.

Die Betragsstriche sind hier natürlich unnötig, hinsichtlich einer späteren Verallgemeinerung auf komplexwertige Funktionen wurden sie aber gesetzt. Anschaulich kann als „mittlere quadratische Abweichung” zwischen den Funktionen f N und f interpretiert werden, welche also beim gerade definierten Konvergenztyp im Grenzfall 0 wird.

Was den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Konvergenzbegriffen anbelangt, so gilt zunächst einmal

gleichmäßige Konvergenz punktweise Konvergenz

wie man sofort einsieht; nicht jedoch die Umkehrung, d.h., es gibt punktweise konvergente Funktionenfolgen, die nicht gleichmäßig konvergieren. Ferner haben wir (ab jetzt sei Integrierbarkeit von f und f 1 , f 2 , f 3 , über das Intervall von - τ bis + τ vorausgesetzt)

gleichmäßige Konvergenz Konvergenz im quadratischen Mittel

wie sich relativ einfach beweisen lässt. Die Umkehrung gilt aber auch diesmal nicht, d.h. es gibt im quadratischen Mittel konvergente Funktionenfolgen, die nicht gleichmäßig konvergieren, ja sogar solche, die nicht einmal punktweise konvergieren (aus der Konvergenz im quadratischen Mittel folgt also nicht die punktweise Konvergenz).

Für die Definitionen der punktweisen und der gleichmäßigen Konvergenz ist die Periodizität der Funktionen f , f 1 , f 2 , f 3 , unerheblich. Die Definitionen können wörtlich für nichtperiodische Funktionen übernommen werden. Im Prinzip gilt dasselbe für die Konvergenz im quadratischen Mittel, nur ist bei nicht 2 τ -periodischen Funktionen die Wahl des Integrationsgebietes von - τ bis + τ etwas willkürlich. Die Willkürlichkeit verschwindet, wenn man zu Funktionen übergeht, die nur auf diesem Intervall definiert sind (solche Funktionen sind eng mit den 2 τ -periodischen Funktionen verwandt, wie man sich leicht überlegt).

Der gleichmäßigen Konvergenz kommt insofern eine besondere Bedeutung zu, als sie hinreichende Voraussetzung für die Vertauschbarkeit von Grenzwert und Integral ist (eine in der Theorie der Fourierreihen häufig vorkommende Operation). Genauer gilt:

Theorem
Sind alle Funktionen f 1 , f 2 , f 3 , von - τ bis + τ integrierbar und konvergiert f N gleichmäßig gegen f , dann ist auch f von - τ bis + τ integrierbar und
lim N - τ + τ f N t d t = - τ + τ f t d t ,

d.h., der Grenzwert auf der linken Seite existiert und ist gleich der rechten Seite (dass wir es hier tatsächlich mit einer Vertauschung von Grenzwert und Integral zu tun haben, sehen wir deutlicher, wenn wir Gleichung als

lim N - τ + τ f N t d t = - τ + τ lim N f N t d t

schreiben, was möglich ist, da f ( t ) für jedes t der Grenzwert von f N ( t ) ist). Die Periodizität von f und f 1 , f 2 , f 3 , ist offensichtlich unerheblich. Der am Beweis des Satzes interessierte Leser sei auf die Literatur verwiesen.

So, wie wir obigen Satz in Kürze anwenden wollen, benötigen wir noch einen Hilfssatz über gleichmäßige Konvergenz. Er lautet wie folgt:

Theorem
Ist eine weitere ( 2 τ -periodische) Funktion g von nach gegeben, konvergiert f N gleichmäßig gegen f , und ist g beschränkt, so konvergiert f N g gleichmäßig gegen f g .

(vgl. Literatur). Auch hierbei ist die Periodizität der Funktionen f , f 1 , f 2 , f 3 , g unerheblich.

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