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Berechnung der Koeffizienten einer reellen Fourierreihe

Beliebigkeit des Integrationsbereichs - Beweis

Sei g eine 2 τ -periodische, über [ - τ , τ ] integrierbare Funktion. g ist dann über jedes (eigentliche, also endliche) Intervall integrierbar. Der unspektakuläre Beweis sei dem Leser überlassen. Für jede reelle Zahl c können wir schreiben (Erklärung der Schritte s. u.):

c - τ c + τ g ( t ) d t = - τ + τ g ( t ) d t + τ c + τ g ( t ) d t - - τ c - τ g ( t ) d t = - τ + τ g ( t ) d t + τ c + τ g ( t ) d t - τ c + τ g ( t ' -2 τ ) d t ' = - τ + τ g ( t ) d t + τ c + τ g ( t -2 τ ) d t - τ c + τ g ( t ) d t = - τ + τ g ( t ) d t + τ c + τ g ( t -2 τ ) - g ( t ) d t = - τ + τ g ( t ) d t + τ c + τ 0 d t = - τ + τ g ( t ) d t + 0 = - τ + τ g ( t ) d t .

Beim zweiten Gleichheitszeichen haben wir für das letzte Integral der Zeile darüber die Substitution t ' = t +2 τ durchgeführt, beim nächsten t ' wieder in t umbenannt, und beim drittletzten die 2 τ -Periodizität von g ausgenutzt.

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