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Berechnung der Koeffizienten einer reellen Fourierreihe

Reelle Fourierreihe - Rechteckkurve - Berechnung der Koeffizienten

Wir betrachten die Funktion

f ( t ) = -1 für -1 t < 0 1 für 0 t < 1

2 -periodisch fortgesetzt, die wir auch Rechteckkurve nennen. Sie ist ungerade, wir können also die Formeln (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) verwenden. Danach ist

a n = 0

für alle n 0 . Für die Koeffizienten b n ergibt sich, wenn wir noch beachten, dass τ gleich 1 ist,

b n = 2 0 1 sin ( n π t ) d t = 2 - 1 n π cos ( n π t ) 0 1 = - 2 n π ( cos ( n π ) -1 )

für alle n . Da cos ( n π ) = 1 oder -1 , je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist, erhalten wir schließlich

b n = 0 für gerade n

und

b n = 4 n π für ungerade n .

Wie schon im vorigen Beispiel, können wir alle ungeraden n als n = 2 k + 1 mit k 0 darstellen und somit die Fourierreihe von f schreiben als

4 π k = 0 1 2 k + 1 sin ( ( 2 k + 1 ) π t ) ,

oder, anschaulicher,

4 π 1 1 sin ( π t ) + 1 3 sin ( 3 π t ) + 1 5 sin ( 5 π t ) + 1 7 sin ( 7 π t ) +  .

Graphische Darstellung

In den Abbildungen ist zu beachten: x = t Funktion

Abb.1
Funktion
f ( t ) = - 1 für - 1 t < 0 1 für 0 t < 1 , 2-periodisch fortgesetzt

Fourierreihe

Abb.2
Funktion
a 0 = 0 , a n = 0 , b n = 0 für gerade n 4 n π für ungerade n
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