zum Directory-modus

Berechnung der Koeffizienten einer reellen Fourierreihe

Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten

Sei eine 2 τ -periodische Funktion f gegeben. Wir setzen voraus, dass sich f nach Art der Gleichung (Reelle Fourierreihe - Einführung) als Fourierreihe darstellen lässt, welche gleichmäßig gegen f konvergiert - präziser: es gebe reelle Konstanten a 0 , a 1 , a 2 , , b 1 , b 2 , derart, dass, definieren wir für jedes N eine Funktion f N durch Gleichung (Reelle Fourierreihe - Einführung) , f N für N gleichmäßig konvergent gegen f ist. Gesucht sind Berechnungsformeln für die Konstanten. Wir leiten zunächst eine Formel für a m mit beliebigem m 0 her. Dazu multiplizieren wir f mit cos ( m π t / τ ) und integrieren von - τ bis + τ . Dabei ist Folgendes zu beachten. Da cos ( m π t / τ ) beschränkt ist, konvergiert nach dem Hilfsatz f N ( t ) cos ( m π t / τ ) , betrachtet als Funktion von t , gleichmäßig gegen f ( t ) cos ( m π t / τ ) . Da außerdem f N ( t ) cos ( m π t / τ ) für jedes N von - τ bis + τ integrierbar ist, ist der Satz (Reelle Fourierreihe - Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen) über die Vertauschbarkeit von Grenzwert und Integral anwendbar. Damit erhalten wir, wenn wir noch für f N ( t ) gemäß Gleichung einsetzen und die Orthogonalitätsrelationen (siehe hierzu Verweis) berücksichtigen,

- τ + τ cos m π t τ f ( t ) d t = lim N - τ + τ cos m π t τ f N ( t ) d t = lim N ( 1 2 a 0 - τ + τ cos m π t τ d t + n = 1 N a n - τ + τ cos m π t τ cos n π t τ d t + n = 1 N b n - τ + τ cos m π t τ sin n π t τ d t ) = a m τ  .

Analog erhalten wir

- τ + τ sin m π t τ f ( t ) d t = lim N - τ + τ sin m π t τ f N ( t ) d t = lim N ( 1 2 a 0 - τ + τ sin m π t τ d t + n = 1 N a n - τ + τ sin m π t τ cos n π t τ d t + n = 1 N b n - τ + τ sin m π t τ sin n π t τ d t ) = b m τ

für beliebige m . Auflösen nach a m bzw. b m und Umbenennen von m in n liefert dann die Formeln

a n = 1 τ - τ + τ cos n π t τ f t d t

und

b n = 1 τ - τ + τ sin n π t τ f t d t  ,

die erste gültig für alle n 0 , die zweite für alle n . Wegen cos ( 0 π t / τ ) = 1 lässt sich für a 0 die einfachere Formel

a 0 = 1 τ - τ + τ f t d t

hinschreiben.

Um zu den Berechnungsformeln , und für die Koeffizienten zu gelangen, hatten wir vorausgesetzt, dass die Fourierreihe gegen f konvergiert, und zwar gleichmäßig. Verlangen wir von f lediglich Integrierbarkeit von - τ bis + τ , was wir ab jetzt tun wollen, so sind die rechten Seiten von , und offenbar immer noch wohldefiniert. Die Zahlen a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , , b 1 , b 2 , b 3 , können dann durch , und definiert werden. Diese Zahlen nennen wir die (reellen) Fourierkoeffizienten von f (ob und wenn ja wie die mit ihnen gebildete Fourierreihe (Verweis) gegen f konvergiert, wissen wir allerdings nicht von vornherein; doch dazu später mehr). Für , und gibt es eine Reihe von Rechenregeln, die manchmal hilfreich sind. Zunächst einmal haben wir für eine 2 τ -periodische, von - τ bis + τ integrierbare Funktionen g stets

- τ + τ g t d t = c - τ c + τ g t d t

für beliebige c (präziser: das Integral auf der rechten Seite existiert und ist gleich der linken Seite) (Beweis). Mit anderen Worten: Das Integrationsintervall [ - τ , + τ ] darf durch jedes andere Intervall der Länge 2 τ , also der Länge der Periode, ersetzt werden. Diese Regel gilt auch für die Beziehungen , und , da die Integranden alle 2 τ -periodische Funktionen sind. Weitere Regeln ergeben sich für gerades bzw. ungerades f . Dazu vorab folgendes. Ist c eine nichtnegative reelle Zahl und g eine (nicht notwendigerweise periodische) von - c bis + c integrierbare Funktion, so gilt, wie wir aus der Integralrechnung wissen,

- c + c g ( t ) d t = 2 0 + c g ( t ) d t falls g ( t ) gerade

und

- c + c g ( t ) d t = 0 falls g ( t ) ungerade

Man beachte nun, dass cos ( n π / τ ) eine gerade und sin ( n π t / τ ) eine ungerade Funktion ist. Beachten wir noch die üblichen Regeln für Produkte von geraden bzw. ungeraden Funktionen, so ergibt sich Folgendes. Ist f gerade, dann können die Beziehungen , und ersetzt werden durch:

a n = 2 τ 0 τ cos n π t τ f ( t ) d t

bzw.

b n = 0

bzw.

a 0 = 2 τ 0 τ f ( t ) d t .

Ist f ungerade, dann können die Beziehungen , und ersetzt werden durch:

a n = 0

bzw.

b n = 2 τ 0 τ sin n π t τ f ( t ) d t

bzw.

a 0 = 0 .

Schließlich muss noch eine wichtige und für manche Aufgaben nützliche Eigenschaft der Formeln , und erwähnt werden, nämlich ihre Linearität. Ist g eine weitere 2 τ -periodische, von - τ bis + τ integrierbare Funktion, so auch f + g , wie man leicht nachprüft. Bezeichnen wir die Fourierkoeffizienten von f bzw. g bzw. f + g mit a ( f ) n , b ( f ) n bzw. a ( g ) n , b ( g ) n bzw. a ( f + g ) n , b ( f + g ) n , so gilt

a ( f + g ) n = a ( f ) n + a ( g ) n

für alle n 0 und

b ( f + g ) n = b ( f ) n + b ( g ) n

für alle n . Bezeichnet α irgendeine reelle Zahl, so haben wir ferner

a ( α f ) n = α a ( f ) n

für alle n 0 und

b ( α f ) n = α b ( f ) n

für alle n . a ( α f ) n und b ( α f ) n bezeichnen die Fourierkoeffizienten der Funktion α f , welche 2 τ -periodisch und von - τ bis + τ integrierbar ist. - folgen einfach aus der Linearität des Integrals.

Wer will, kann sich zur Veranschaulichung einige Beispiele ansehen.

Rekapitulieren wir: Am Anfang hatten wir die gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe von f gegen f vorausgesetzt, um die Formeln , und für die Koeffizienten zu erhalten. Diese Voraussetzung hatten wir dann fallen gelassen, nur noch die Integrierbarkeit von f über das Intervall [ - τ , + τ ] gefordert, und die Fourierkoeffizienten durch die Formeln , und definiert, deren Eigenschaften wir anschließend untersuchten. Offen blieb bisher die Frage, ob und wenn ja in welchem Sinne die mit diesen Koeffizienten gebildete Fourierreihe (Verweis) gegen f konvergiert. Dieser Frage wenden wir uns als nächstes zu.

<Seite 1 von 4