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Reelle Fourierreihen

Orthogonalitätsrelationen - Beweis

Zu (Reelle Fourierreihe - Einführung) . Offenbar ist der Integrand von

- τ + τ cos m π t τ sin n π t τ d t

das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Funktion und damit ungerade. Da außerdem der Integrationsbereich symmetrisch um 0 liegt, verschwindet das Integral (siehe entsprechende Regel).

Zu (Reelle Fourierreihe - Einführung) . Angenommen, n m . Dann ergibt sich mit Hilfe eines geeigneten Additionstheorems

- τ + τ cos m π t τ cos n π t τ d t = 1 2 - τ + τ cos ( m - n ) π t τ d t + 1 2 - τ + τ cos ( m + n ) π t τ d t = τ 2 ( m - n ) π sin ( m - n ) π t τ - τ + τ + τ 2 ( m + n ) π sin ( m + n ) π t τ - τ + τ = τ 2 ( m - n ) π sin ( m - n ) π - sin - ( m - n ) π + τ 2 ( m + n ) π sin ( m + n ) π - sin - ( m + n ) π = τ 2 ( m - n ) π ( 0 - 0 ) + τ 2 ( m + n ) π ( 0 - 0 ) = 0 .

Für das vorletzte Gleichheitszeichen haben wir die Tatsache benutzt, dass der Sinus für alle ganzzahligen Vielfachen von π Null ist. Zum Fall m = n 0 . Wieder mit Hilfe eines Additionstheorems erhalten wir

- τ + τ cos m π t τ cos m π t τ d t = - τ + τ 1 2 1 + cos 2 m π t τ d t = 1 2 - τ + τ d t + - τ + τ cos 2 m π t τ d t = 1 2 2 τ + τ 2 m π sin 2 m π t τ - τ + τ = 1 2 2 τ + τ 2 m π sin ( 2 m π ) - sin ( -2 m π ) = 1 2 2 τ + τ 2 m π 0 - 0 = τ .

Auch hier haben wir die Tatsache benutzt, dass der Sinus für ganzzahlige Vielfache von π verschwindet. Im Fall m = n = 0 schließlich sind beide Kosinusfunktionen konstant gleich 1 und die triviale Rechnung

- τ + τ cos 0 π t τ cos 0 π t τ d t = - τ + τ 1 1 d t = 2 τ

liefert das Gewünschte.

Zu (Reelle Fourierreihe - Einführung) . Sei zunächst m n angenommen. Wieder mit Hilfe eines geeigneten Additionstheorems können wir schreiben:

- τ + τ sin m π t τ sin n π t τ d t = 1 2 - τ + τ cos ( m - n ) π t τ d t - 1 2 - τ + τ cos ( m + n ) π t τ d t ,

was sich vom Ausdruck rechts des ersten Gleichheitszeichens in nur dadurch unterscheidet, dass zwischen den Integralen ein Minus- statt eines Pluszeichens steht. Am Ergebnis, nämlich 0 , ändert das nichts. Im Fall m = n erhalten wir, wieder mit Hilfe eines Additionstheorems,

- τ + τ sin m π t τ sin m π t τ d t = - τ + τ 1 2 1 - cos 2 m π τ d t .

Bis auf das Minuszeichen vor dem Kosinus ist dies mit dem zweiten Ausdruck der Gleichungskette identisch. Der Unterschied beeinflusst das Ergebnis nicht, wie man leicht nachprüft, es lautet also τ , was wir auch beweisen sollten.

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