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Reelle Fourierreihen

Reelle Fourierreihe - Einführung

Thema der folgenden Seiten ist, grob gesagt, die Entwicklung einer zunächst reellwertigen, periodischen Funktionen f von zunächst einer reellen Variablen t (wir bezeichnen die Variable mit t , da sie in Anwendungen oft die Zeit sein wird) nach Kosinus- und Sinusfunktionen, genauer die Darstellung von f als Reihe

f ( t ) = 1 2 a 0 + n = 1 a n cos n π t τ + b n sin n π t τ ,

der so genannten Fourierreihe von f , mit konstanten Koeffizienten a 0 , a 1 , a 2 , , b 1 , b 2 , . τ ist die halbe Periode von f . Im Wesentlichen sind zwei Situationen denkbar: entweder f ist vorgegeben und man fragt nach den Koeffizienten, oder die Koeffizienten sind vorgegeben und f wird aus ihnen konstruiert. Ersteres nennt man Fourieranalyse, letzteres Fouriersynthese. Für das Weitere sind einige mathematische Vorbereitungen nötig. Wir beginnen mit dem Begriff der periodischen Funktion. Eine reellwertige Funktion f einer reellen Variablen t heißt periodisch, wenn es eine positive Zahl T gibt mit

f ( t ) = f ( t + T ) für alle t ,

in diesem Fall heißt T Periode von f . Mit T ist auch jede Zahl α T α , Periode von f , die also nicht eindeutig bestimmt ist. Statt „ f ist periodisch und hat die Periode T ” sagen wir auch kürzer „ f ist T -periodisch”. Meist schreiben wir die Periode T als T = 2 τ und arbeiten mit der halben Periode τ (wie oben bereits geschehen) aus praktischen Gründen. Denken wir uns nun ein festes reelles τ > 0 vorgegeben und betrachten wir alle τ -periodischen Funktionen. Dazu gehören insbesondere

cos 0 π t τ , cos 1 π t τ , cos 2 π t τ , cos 3 π t τ ,

und

sin 1 π t τ , sin 2 π t τ , sin 3 π t τ ,

Man überzeugt sich leicht davon, dass alle diese Funktionen tatsächlich 2 τ -periodisch sind. (Warum die Funktion sin ( 0 π t / τ ) , die natürlich konstant gleich 0 ist, in der Liste fehlt, überlegt man sich leicht selbst. cos ( 0 π t / τ ) ist natürlich konstant gleich 1.) (Graphische Darstellung.) Sie spielen eine herausragende Rolle, wie wir noch sehen werden. Zu ihren wichtigsten Eigenschaften gehören die folgenden so genannten Orthogonalitätsrelationen: für beliebige m 0 und n 0 gilt:

- τ + τ cos m π t τ sin n π t τ d t = 0

für beliebige m , n 0 gilt:

- τ + τ cos m π t τ cos n π t τ d t = 0 falls m n τ falls m = n > 0 2 τ falls m = n = 0

für beliebige m , n schließlich gilt:

- τ + τ sin m π t τ sin n π t τ d t = 0 falls m n τ falls m = n

(Orthogonalitätsrelationen - Beweis). Sie ließen sich in einen etwas allgemeineren Rahmen einordnen, wodurch ihre Bezeichnung als Orthogonalitätsrelationen erst richtig verständlich würde, es ist aber nicht notwendig, das hier zu besprechen. Wegen cos ( 0 π t / τ ) = 1 führt in bzw. der Fall m = 0 zu den vereinfachten Aussagen: für beliebige n gilt

- τ + τ sin n π t τ d t = 0

bzw.: für beliebige n 0 gilt

- τ + τ cos n π t τ d t = 0 falls n > 0 2 τ falls n = 0

Zum weiteren Vorgehen. Wir behandeln zuerst die Fourieranalyse und dann die Synthese (beides lässt sich allerdings nicht ganz voneinander trennen). In der Fourieranalyse geht es um die die Frage: Wie erhält man bei vorgegebener Funktion f die Koeffizienten a n und b n ? Die Antwort wird in gewissen Formeln zu deren Berechnung bestehen, hergeleitet unter der Voraussetzung (einer bestimmten Art) von Konvergenz der Fourierreihe gegen f . Verzichtet man auf diese Voraussetzung, lassen sich die Formeln trotzdem anwenden; die Fourierreihe, also die rechte Seite von Gleichung , kann dann formal gebildet werden, ohne dass klar ist, ob und in welchem Sinne sie gegen f konvergiert. Es ergibt sich damit eine weitere Frage, nämlich: Wann und in welchem Sinne konvergiert die so gebildete Fourierreihe gegen f ? Aus der rechten Seite von Gleichung lässt sich für jedes N eine reellwertige Funktion f N von t bilden durch:

f N t = 1 2 a 0 + n = 1 N a n cos n π t τ + b n sin n π t τ

wodurch eine Folge f 1 , f 2 , f 3 , von Funktionen entsteht. Wenn es in der Fouriertheorie um Konvergenz geht, dann letztlich immer um die Konvergenz dieser (oder einer ähnlichen) Folge, wobei verschiedene Konvergenzbegriffe eine Rolle spielen.

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