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Problematik aperiodischer Messfunktionen

Problematik aperiodischer Messfunktionen

In der FT- Spektrometrie wird ein Zeitsignal s ( t ) gemessen und mit der Fouriertransformation (FT) in das gewünschte komplexe Spektrum S ( k ) überführt (siehe auch Praxis der FT). Die Aufzeichnung von s ( t ) beginnt typischerweise bei t = 0 und endet bei t = T . Ein üblicher T -Wert ist 1 s . Folglich nimmt die Frequenzschrittweite 1 / T des Spektrums den Wert 1 Hz an. Es ist nicht zu erwarten, dass die wirklichen Spektrallinien genau in dieses 1 - Hz -Raster passen, da ihre Frequenzlage durch reelle Werte, z.B. 200,4 Hz , gegeben ist. Dieses Kapitel beantwortet die Frage, was unter diesen Umständen das Ergebnis der Fouriertransformation ist.

Beispiel

Wir betrachten zunächst ein harmonisches Signal h ( t ) = sin 2 π 2,5 t / T der Aufzeichnungslänge 1 s . Seine Zeitauftragung zeigt die Abbildung:

Abb.1
Harmonisches Signal

Schwarz: Signal h ( t ) (der unbeobachtete Teil ist gestrichelt) Rot : Synthetisiertes periodisches Signal g ( t ± T )

Im berechneten Spektrum H ( k ) ist die Schrittweite 1 Hz , also ist die wirkliche Frequenz 2,5 Hz im Frequenzraster nicht darstellbar. Welche Fourierkoeffizienten entstehen in diesem Fall? Ohne explizite Rechnung können wir dazu von vornherein folgende Aussagen machen.

  1. Aus der Sicht der FT ist das Signal im Messintervall eine gerade Funktion, also resultieren nur cos -Koeffizienten im Spektrum H ( k ) . Alle sin -Koeffizienten sind Null. Ein verblüffendes Ergebnis, da das wirkliche Signal eine sin -Funktion ist.
  2. Die cos -Koeffizienten müssen paarweise mit umgekehrten Vorzeichen auftreten, z.B. a 2 = - a 3 , damit an den Intervallgrenzen Null resultiert.
  3. Die synthetisierte gerade Zeitfunktion g ( t ± T ) , erhalten aus dem Spektrum H ( k ) per inverse FT, stimmt von 0 bis T mit der gemessenen Zeitfunktion genau überein. Außerhalb der Intervallgrenzen trifft dies nicht zu, da sie periodisch in T ist, wie in der Abbildung gezeigt.

Spektrum nichtabklingender Signale

Wir berechnen nun als erstes das Spektrum einer nichtabklingenden Zeitfunktion am Beispiel eines monochromatischen Signals. Dabei verwenden wir die x -Darstellung, da sie übersichtlicher als die t -Darstellung der Zeitfunktion ist (Komplexe Fourieranalyse). Für das Signal gilt demgemäß:

e i l + δ x H ( k ) x 0 , 2 π δ 0 , 1 reell l Z

Bevor wir die Fourieranalyse durchführen, formen wir um:

h ( x ) = e i l + δ x = e i δ x e i l x = z ( x ) e i l x z ( x ) Z ( K )

Nach dem Schiebungstheorem der FT reicht es aus, das Spektrum Z ( k ) des ersten Faktors zu berechnen. Das Spektrum von s ( t ) entsteht dann durch Schiebung von Z ( k ) an die Stelle k = l .

1. Schritt: Fourieranalyse von Z ( k )

Z ( k ) = 1 2 π 0 2 π F ( x ) e - i k x d x = 1 2 π 0 2 π e i δ x e - i k x d x = 1 2 π 0 2 π e i δ - k x d x = 1 i 2 π δ - k e i δ - k x 0 2 π = 1 i 2 π δ - k e i δ - k 2 π - 1 = 1 i 2 π δ - k e i 2 π δ e - i 2 π k - 1 = 1 i 2 π δ - k e i 2 π δ - 1 da e - i 2 k π = 1 = 1 i 2 π δ - k cos 2 π δ + i sin 2 π δ - 1 = sin 2 π δ 2 π δ - k - i cos 2 π δ - 1 2 π δ - k

Es resultiert

Z ( k ) = sin 2 π δ 2 π δ - k + i 1 - cos 2 π δ 2 π δ - k  .

2. Schritt: Bestimmung von S ( k )

Die Schiebung geschieht gemäß

z ( x ) Z ( k ) h ( x ) = z ( x ) e i l x H ( k ) H ( k ) = Z k - l  .

Resultat

H ( k ) = 1 2 π sin 2 π δ δ - k - l + i 1 - cos 2 π δ δ - k - l x -Darstellung

Die resultierenden Spektrenprofile an der Stelle k = l sind für zwölf Werte von δ in der folgenden Abbildung gezeigt. Eine volle Reglerschiebung von links nach rechts entspricht der δ -Änderung von 0 bis 1 . Die ebenfalls gezeigte Zeitfunktion ist der Realteil von e i δ x mit x = 2 π k t / T .

Abb.2

Die Beispiele in der Abbildung zeigen, dass sich die scharfe Spektrallinie einer monochromatischen harmonischen Funktion an der Stelle l + δ je nach Wert von δ mehr oder weniger auf die umliegenden Fourierkoeffizienten des Frequenzrasters verteilt (Ausfluss-Effekt, „leakage effect”).

Spektrum abklingender Signale

Die gemessenen Signale s ( t ) der FT-Spektroskopie sind selten ungedämpft, sondern fallen mit zunehmender Zeit mehr oder weniger schnell ab. Die Dämpfung lässt sich meist recht gut durch eine Exponentialfunktion mit dem reellen Parameter β > 0 beschreiben. Damit nimmt die Messfunktion für eine Spektrallinie folgende Form in der x -Darstellung an:

s ( x ) = e i l + δ x e - β x S ( k ) δ 0 , 1 , β > 0 beide reell ; x 0 , 2 π l Z

Umformung ergibt

s ( x ) = e i δ x e - β x e i l x = z ( x ) d ( x ) e i l x = f ( x ) e i l x S ( k )

mit der neuen Linienformfunktion, die in Praxis der FT-Messtechnik das Profil der Spektrallinien bestimmt:

f ( x ) = e i δ x e - β x = z ( x ) d ( x ) F ( k ) Experimentelle Linienform z ( x ) Z ( k ) Ausfluss-Effekt d ( x ) D ( k ) Lorentzverbreiterung

Da wir die Spektren Z ( k ) und D ( k ) bereits kennen (siehe oben bzw. Beispiel 2 unter Komplexe Fourieranalyse), erhalten wir das Spektrum F ( k ) mit dem Konvolutionssatz der FT:

Sei z ( x ) Z ( k ) und d ( x ) D ( k ) so folgt f ( x ) = z ( x ) d ( x ) = d ( x ) z ( x ) F ( k ) = n = - n = + Z ( n ) D ( n - k )  .

Die Rechnung führen wir hier nicht explizit durch, da die resultierende Formel keine praktische Bedeutung hat. Es genügt zu wissen, von welchen beiden Parametern die Spektralprofile in einem experimentellen Spektrum bestimmt sind.

Die folgende Abbildung zeigt den Einfluss zunehmender Lorentzverbreiterung für repräsentative Werte von l + δ in einem Spektrum von 0 bis 1.000 Hz mit der Frequenzschrittweite 1 Hz . Es zeigt sich, dass selbst bei starkem Abfall die Höhe einer Spektrallinie kein genaues Maß für die Intensität der Spektrallinien ist.

Abb.3
Spektrallinien
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