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Komplexe Fourieranalyse

CFT- Beispiel 5: Frequenzfaltung

Die Spektren der reellen abklingenden harmonischen Funktionen

sin 2 π l t / T e - β t und cos 2 π l t / T e - β t mit l = 0 , 1 , 2 , 3 ,

sind als Beispiel der reellen Fourieranalyse behandelt worden (siehe dort). Es ergibt sich z.B. für die Koeffizienten a k des abfallenden Kosinus das folgende Bild

Abb.1
Kosinusspektrum a k zweier abfallender Kosinus der Frequenz ( l / T ) mit l = 12 und l = 200 (Dämpfungsfaktor β = 4,6052 s -1 ).

Für den Kosinus mit l = 200 0 besitzt die resultierende Spektrallinie die typische Lorentzkurvenform. Je mehr sich jedoch die Frequenz der Spektrallinie dem Wert 0 Hz nähert, umso stärker bildet sich eine unsymmetrische Linienform aus. (Abb. 1) zeigt dies für l = 12 . Dieses Phänomen wird als Frequenzfaltung bezeichnet und hier mit Hilfe der komplexen Fourieranalyse erklärt.

Zunächst sei kurz auf den Begriff „Faltung” eingegangen. Schiebt sich die Lorentzkurve mehr und mehr gegen k = 0 , so „stoßen” die Ausläufer der Kurve sozusagen „gegen die Wand” bei k = 0 , da in der reellen Fourieranalyse keine negativen k -Werte möglich sind. Allerdings ist folgendes Konstrukt denkbar. Wir zeichnen die gesamte Lorentzkurve bei l = 12 auf einem Papierblatt, d.h. ihren Auslauf nach links auch weiter über k = 0 hinaus entlang einer „virtuellen” negativen k -Achse. Dann falten wir das Papierblatt um die vertikale Achse bei k = 0 . Legen wir das „gefaltete Spektrum” auf einen Leuchttisch, so können wir die bei k > 0 auftretenden zweifachen Fourierkoeffizienten per Lineal ausmessen und ihre Summe als „effektive” Werte des Spektrums bei k = 1 , 2 , 3 , auftragen. In der Tat ergäbe sich so die in der (Abb. 1) gezeigte Spektrallinie für l = 12 . Die mit dem Papierblatt durchgeführte Faltung des „virtuellen” Teils der Frequenzachse ( k < 0 ) in ihren zulässigen Bereich verdeutlicht den Begriff der „Frequenzfaltung” (Hinweis: Im strengen Sinne sind es eigentlich die Fourierkoeffizienten, die gefaltet sind).

Das Konstrukt des gefalteten Papierblattes findet seine mathematische Formulierung in der komplexen Fourieranalyse, die die negative Frequenzachse einschließt ( k < 0 ) . Dafür setzen wir den Realteil der komplexen Funktion F ( x ) gleich einem abfallenden Sinus oder Kosinus und ihren Imaginärteil gleich null:

F ( x ) = sin l x e - β ' x + i 0

bzw.

F ( x ) = cos l x e - β ' x + i 0

mit

x = 2 π t / T .

(Abb. 2) zeigt das Resultat der komplexen Fourieranalyse für die Signallagen l = 0 , 6 , 12 , 18 , 30 und 75 . Die bezüglich k = 0 geraden und ungeraden Spektren sind typisch für rein reelle (oder rein imaginäre) Funktionen F ( x ) .

Abb.2
Komplexe Fourierkoeffizienten C ( k )

Komplexe Fourierkoeffizienten C ( k ) für einen abfallenden Sinus bzw. Kosinus (links oben anklicken) für verschiedene Signallagen (rechts oben anklicken). Es treten jeweils zwei Linien auf, eine Folge der rein reellen Natur der fouriertransformierten Funktion. Oben: Re C ( k ) , Mitte: Im C ( k ) , unten: | C ( k ) | .

Die Abbildung zeigt, dass sich für l nahe k = 0 die Signale merklich addieren. Die Fourierkoeffizienten a 0 sowie a k , b k für k = 1 , 2 , 3 , der reellen Fourieranalyse entstehen aus den komplexen Werten C ( k ) gemäß

a 0 = 2 C ( 0 ) a k = C ( k ) + C ( - k ) b k = i C ( k ) - C ( - k ) k > 0 .

Die Summation der Werte C ( k ) und C ( - k ) für a k entspricht der oben beschriebenen Papierblatt-Faltung um k = 0 . Die dort angenommene Addition der Teilsignale entspricht im komplexen Spektrum der additiven Überlagerung der beiden Einzelsignale, eine Folge der Linearität der Fouriertransformation.

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