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Komplexe Fourieranalyse

CFT- Beispiel 4: Abklingende periodische Schwingung

Die Zeitfunktion ist gegeben durch

h ( t ) = e i 2 π l t / T exp - t / T 2 * = d ( t ) e i 2 π l t / T H ( k ) l

Das Spektrum des exponentiellen Zeitabfalls d ( t ) kennen wir bereits (Beispiel 2). Das gesuchte Spektrum erhalten wir also einfach durch Schiebung gemäß

d ( t ) D ( k ) h ( t ) = d ( t ) e i 2 π l t / T H ( k ) H ( k ) = D ( k - l )

Resultat

Theorem
H ( k ) = T 2 * T 1 - i 2 π k - l T 2 * / T 1 + 2 π k - l T 2 * / T 2 1 - exp - T / T 2 *

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Abb.1
Graf der Spektralprofile an der Stelle k = l für einen Abfall auf 20 %, 1 % und 10 -8 %

1.) Wählen Sie als erstes den gewünschten Abfall auf 20 %, 1 % oder 10 -8 % (Anklicken links unter der Abbildung). 2.) Wählen Sie dann den jeweiligen Spektrentyp (Anklicken rechts unter der Abbildung). F ( x ) = e i l x e - β x mit x = 2 π t / T und β = T / ( 2 π T 2 * ) Gezeigt ist nur der Realteil der komplexen Funktion F ( x ) . Die Striche geben die Größe der Fourierkoeffizienten an, zentriert bei k = l .

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