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Komplexe Fourieranalyse

CFT- Beispiel 3: Abklingende Exponentialfunktion

Abb.1
Re F ( x )

F ( x ) = e - β x + i 0 β > 0 reell (gestrichelt: β = 5,0 fett: β = 0,5 )

Durchführung der Fourieranalyse

Beispiel
C ( k ) = 1 2 π 0 2 π e - β x e - i k x d x = 1 2 π 0 2 π e - β + i k x d x = - 1 2 π β + i k e - β + i k x 0 2 π = - 1 2 π β + i k e β 2 π e i 2 k π - 1 = 1 2 π β - i k β - i k β + i k 1 - e - β 2 π da e i 2 k π = 1 = 1 2 π β - i k β 2 + k 2 1 - e - β 2 π

Resultat

Theorem
C ( k ) = 1 2 π β 1 - i k / β 1 + k / β 2 1 - e - β 2 π

Der Ausdruck in Klammern berücksichtigt, dass die Exponentialfunktion für x = 2 π , also nach einer Periode, je nach dem Dämpfungsparameter β mehr oder weniger stark abgeklungen ist. Für β = 0,5 gilt F ( 2 π ) = e - π = 0,0432 , d.h. die Klammer hat den Wert 0,9568 .

Theorem
Real- und Imaginärteil von C ( k )
Absorptionskurve (Lorentzkurve) Re C ( k ) = 1 2 π β 1 1 + k / β 2 1 - e - β 2 π L ( k ) Dispersionskurve Im C ( k ) = 1 2 π β k / β 1 + k / β 2 1 - e - β 2 π D ( k )
Abb.2
Graph L ( k ) und D ( k ) für β = 5,0

Die Werte der Fourierkoeffizienten sind linear verbunden (Liniendarstellung).

Die Abhängigkeit der C ( k ) -Werte vom Dämpfungsfaktor β ist in Beispiel 4 der komplexen Fourieranalyse gezeigt für einen Abfall der Exponentialfunktion auf 20 %, 1 % und 10 -8 %.

Fourierkoeffizienten in der Zeitdarstellung f ( t )

In der Zeitdarstellung der abklingenden e-Funktion wird der Dämpfungsfaktor häufig in der Form 1 / T 2 * angegeben. Zum Beispiel ist in der NMR- Spektroskopie T 2 die so genannte Spin-Spin-Relaxationszeit, die die natürliche Breite einer Spektrallinie charakterisiert. Die Breite der Lorentzlinie auf halber Höhe beträgt dann 1 / π T 2 . Bedingt durch die Inhomogenität des starken Magnetfeldes ist die gemessene Linienbreite allerdings in der Regel größer als die natürliche, der Abfall jedoch immer noch näherungsweise exponentiell und durch die so genannte „effektive” Relaxationszeit T 2 * beschreibbar.

Die C ( k ) - Werte bezüglich der periodischen Zeitfunktion F ( t ) = F ( t + T ) erhalten wir durch Substitution von π durch 2 / T gefolgt von k durch k 2 π / T (siehe Kurznotierung der FT). Das Ergebnis ist

Theorem
F ( t ) = exp - t / T 2 * + i 0 C ( k ) = T 2 * T 1 - i 2 π k T 2 * / T 1 + 2 π k T 2 * / T 2 1 - exp - T / T 2 *
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