CFT-Beispiel 2: Komplexe Rechteckfunktion

Die Rechteckfunktion entsteht aus der Impulsfunktion, hier als $\mathit{I}(\mathit{x})$ bezeichnet, für $\alpha =\pi$ und Subtraktion von Eins:

$$\mathit{F}(\mathit{x})=2\cdot \mathit{I}(\mathit{x})-1\cdot {\text{e}}^{\text{i}\cdot 0}$$

Die Spektren beider Summanden sind deswegen bereits bekannt:

$$2\mathit{I}(\mathit{x})\iff 2\cdot \left(\frac{sin\mathit{k}\alpha }{2\pi \mathit{k}}-\text{i}\cdot \frac{{sin}^2(\mathit{k}\alpha /2)}{\pi \mathit{k}}\right)=\frac{sin\mathit{k}\pi }{\pi \mathit{k}}-\text{i}\cdot \frac{{sin}^2(\mathit{k}\pi /2)}{\pi \mathit{k}/2}$$

und

$$-1\cdot {\text{e}}^{\text{i}\cdot 0\mathit{x}}\iff \delta (\mathit{k})=\left\{\begin{array}{lcr}-& 1& \mathit{k}=0\\ & 0& \mathit{k}\ne 0\end{array}\right.$$

Wegen der Linearität der FT ist das Spektrum der Rechteckfunktion also gleich der Summe dieser beiden Spektren:

$$\mathit{C}(\mathit{k})=\frac{sin\mathit{k}\pi }{\mathit{k}\pi }-\text{i}\cdot \frac{{sin}^2(\mathit{k}\pi /2)}{\pi \mathit{k}/2}+\delta (\mathit{k})$$

Fall $\mathit{k}=0$

Die $sin$ - Summanden ergeben beide einen unbestimmten Ausdruck $0/0$. Nach der Regel von L' Hospital ergibt sich der erste zu Eins und der zweite zu Null, also gilt

$$\mathit{C}(0)=1-\text{i}\cdot 0-1=0$$

Fall $\mathit{k}\ne 0$

Der Realteil ist Null, es verbleibt

$$\mathit{C}(\mathit{k})=-\text{i}\cdot \frac{2}{\mathit{k}\pi }\ne 0\text{nur für ungerade}\mathit{k}$$

Das Spektrum ist rein imaginär, eine Folge der ungeraden Symmetrie der rein reellen Rechteckfunktion.

Die Rechteckfunktion ist bereits mit der reellen Fourieranalyse berechnet worden. Der Zusammenhang mit den reellen Fourierkoeffizienten ist gegeben durch

$${\mathit{a}}_0=2\cdot \mathit{C}(0){\mathit{a}}_{\mathit{k}}=\left[\mathit{C}(\mathit{k})+\mathit{C}(-\mathit{k})\right]{\mathit{b}}_{\mathit{k}}=\text{i}\cdot \left[\mathit{C}(\mathit{k})-\mathit{C}(-\mathit{k})\right]\mathit{k}>0$$

Alle $cos$ - Koeffizienten sind Null (man beachte den Nenner in $\mathit{C}(\mathit{k})$), es resultiert

$${\mathit{b}}_{\mathit{k}}=\frac{4}{\mathit{k}\pi }\text{für ungerade}\mathit{k}>0$$

Dieses Ergebnis stimmt mit jenem der reellen Fourieranalyse überein.