Komplexe Fourieranalyse
CFT-Beispiel 2: Komplexe Rechteckfunktion
Die Rechteckfunktion entsteht aus der Impulsfunktion, hier als bezeichnet, für und Subtraktion von Eins:
Die Spektren beider Summanden sind deswegen bereits bekannt:
und
Wegen der Linearität der FT ist das Spektrum der Rechteckfunktion also gleich der Summe dieser beiden Spektren:
Fall
Die - Summanden ergeben beide einen unbestimmten Ausdruck . Nach der Regel von L' Hospital ergibt sich der erste zu Eins und der zweite zu Null, also gilt
Fall
Der Realteil ist Null, es verbleibt
Das Spektrum ist rein imaginär, eine Folge der ungeraden Symmetrie der rein reellen Rechteckfunktion.
Die Rechteckfunktion ist bereits mit der reellen Fourieranalyse berechnet worden. Der Zusammenhang mit den reellen Fourierkoeffizienten ist gegeben durch
Alle - Koeffizienten sind Null (man beachte den Nenner in ), es resultiert
Dieses Ergebnis stimmt mit jenem der reellen Fourieranalyse überein.