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Komplexe Fourieranalyse

CFT- Beispiel 1: Impulsfunktion

Abb.1
Impulsfunktion

f ( x ) = 1 + i 0 0 x < α 0 + i 0 α x < 2 π

Durchführung der Fourieranalyse

Beispiel
C ( k ) = 1 2 π 0 2 π 1 e i k x d x = 1 2 π 0 α e i k x d x = 1 i 2 π k e i k x 0 α = i 2 π k e i k α - 1 = i 2 π k cos k α - i sin k α - 1 = i 2 π k cos k α - 1 - i sin k α = sin k α 2 π k + i cos k α - 1 2 π k
Hinweis
Mit
cos 2 γ + sin 2 γ = 1 und cos 2 γ - sin 2 γ = cos 2 γ
folgt
2 sin 2 γ = 1 - cos 2 γ
d.h. der Imaginärteil nimmt im Zähler die Form
-2 sin 2 ( k α / 2 ) an.

Ergebnis

C ( k ) = sin k α 2 π k - i sin 2 ( k α / 2 ) π k = α 2 π sin k α α k - i sin 2 ( k α / 2 ) α k / 2

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Abb.2
Graf der Fourierkoeffizienten C (k) für drei Impulslängen α α = 1 / 20 , 1 / 10 und 1 / 2 der Periodenlänge 2 π

1.) Wählen Sie als erstes die gewünschte Impulslänge 2 π / 20 , 2 π / 10 oder 2 π / 2 (Anklicken links unter der Abbildung). 2.) Wählen Sie dann den jeweiligen Spektrentyp (Anklicken rechts unter der Abbildung). Gezeigt ist der Realteil der komplexen Impulsfunktion. Der Imaginärteil ist gleich Null. Die Striche geben die Größe der Fourierkoeffizienten an, zentriert bei k = 0 . Zu beachten ist die erhebliche Verbreiterung des Amplitudenspektrums im Vergleich zum Realteil von C ( k ) , die in der Überlagerung beider Spektrentypen ersichtlich ist (ReC+ Amp).

In der Zeitdarstellung entspricht α der Impulslänge τ . Es gilt α / 2 π = τ / T (siehe Kurznotierung der FT). Damit lauten die Fourierkoeffizienten

C ( k ) = τ T sin 2 k π τ / T 2 k π τ / T - i sin 2 ( k π τ / T ) k π τ / T
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