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Komplexe Fourieranalyse

Komplexe Fourieranalyse

Gegeben sei eine komplexe periodische Funktion F ( x ) = F ( x + 2 π ) . Ihr Bezug zu Messfunktionen der instrumentellen chemischen Analytik ist gegeben durch Substitution (siehe Kurznotierung FT)

  • x ( t ) = 2 π t / T Zeitfunktion mit der Periode T in s (z. B. NMR- Spektroskopie)
  • x ( t ) = 2 π s / L Ortsfunktion mit der Periode L in cm (z. B. IR- Spektroskopie)

Die gesuchte spektrale Information ist in F ( x ) enthalten, jedoch nicht direkt erkennbar (siehe Mischungen von cos - und sin - Schwingungen), wohl aber in den komplexen Fourierkoeffizienten C ( k ) der Fouriersynthese

F ( x ) = l = - l = + C ( l ) e i l x

Dies Kapitel zeigt, in welcher Weise die C ( k ) - Werte für die gegebene Funktion F ( x ) berechnet werden können.

Grundlage der Berechnungsvorschrift ist das Integral

0 2 π e i m x d x = 0 2 π 1 d x = x 0 2 π = 2 π m = 0 0 2 π cos m x d x + i 0 2 π sin m x d x = 0 m 0

Diese Eigenschaft des Integrals machen wir uns in folgender Weise zu Nutze. Beide Seiten der Synthesegleichung werden mit e - i k x multipliziert und dann über eine Periode integriert:

0 2 π F ( x ) e i k x d x = 0 2 π l = - l = + C ( l ) e i l x e - i k x d x = l = - l = + C ( l ) 0 2 π e i l - k x d x
  • Für k l sind alle Integrale in der rechten Summe gleich Null
  • Für k = l ist das Integral in der rechten Summe gleich 2 π .

Also gilt

0 2 π F ( x ) e - i k x d x = + 0 + 0 + C ( k ) 2 π + 0 + 0 +

Die gesuchten Fourierkoeffizienten entstehen demnach gemäß

C ( k ) = 1 2 π 0 2 π F ( x ) e - i k x d x Komplexe Fourieranalyse

Für Zeitfunktionen F ( t ) folgt durch Substitution x = 2 π t / T im Exponentialfaktor und d x im Integral

C ( k ) = 1 T 0 T F ( t ) e - i 2 π k t / T d t .

Komplexe Fourieranalyse reeller Funktionen

Für reelle Funktionen

F ( x ) = Re F ( x ) + i Im F ( x ) = Re F ( x ) + i 0 = Re F ( x ) = f ( x )

entstehen durch die reelle Fourieranalyse die Koeffizienten a 0 und a k , b k mit k = 1 , 2 , 3 , . Ihr Zusammenhang mit den komplexen Koeffizienten C ( k ) der komplexen Fourieranalyse der reellen Funktionen F ( x ) = f ( x ) ist gegeben durch

a 0 = 2 C ( 0 ) a k = C ( k ) + C ( - k ) b k = i C ( k ) - C ( - k ) k > 0 .

Eine solche Umrechnung ist in Beispiel 2: Komplexe Rechteckfunktion gezeigt.

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