Symmetriebeispiel 2 der FT: Rein reelle ungerade Funktion

$${\mathit{F}}_2(\mathit{x})=-{\mathit{F}}_2(-\mathit{x})=2\cdot sin3\mathit{x}=-\text{i}\cdot {\text{e}}^{+\text{i}3\mathit{x}}+\text{i}\cdot {\text{e}}^{-\text{i}3\mathit{x}}\iff {\mathit{C}}_2(\mathit{k})$$

Im komplexen Spektrum einer $sin$-Funktion zeigt der Imaginärteil jeweils die halbe Amplitude, und zwar negativ bei $\mathit{k}=3$ und positiv bei $\mathit{k}=-3$. Es gilt

$$\text{Re}{\mathit{C}}_2(-3)=\text{Re}{\mathit{C}}_2(3)=0\text{und}\text{Im}{\mathit{C}}_2(-3)=-\text{Im}{\mathit{C}}_2(3)$$

Dieser Befund gilt für jedes $\mathit{k}$ und wegen der Linearität für jede Linearkombination von $sin\mathit{k}\mathit{x}$-Funktionen.

Theorem

Für eine beliebige rein reelle ungerade Funktion ist das Spektrum rein imaginär und ungerade (antisymmetrisch).