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Eigenschaften der Fouriertransformation

Reelle versus komplexe FT

Für eine rein reelle periodische Funktion gilt (siehe Symmetrie)

F ( x ) = f ( x ) + i 0 = k = - k = + C ( k ) e i k x mit C ( - k ) = C * ( k )

Die reelle Fouriersynthese für die reelle periodische Funktion f ( x ) lautet in der x -Notierung

f ( x ) = a 0 / 2 + k = 1 k = + a k cos k x + b k sin k x

Im Folgenden wird der Zusammenhang von C ( k ) und a k , b k hergestellt.

Auflösen der Euler´sche Gleichung cos k x ± sin k x = e ± i k x nach cos und sin ergibt:

cos k x = 1 / 2 e + i k x + e - i k x und sin k x = i 1 / 2 e + i k x - e - i k x

Einsetzen und Zusammenfassung der exp- Terme mit gleichem Exponenten ergibt

f ( x ) = 1 2 a 0 + 1 2 k = 1 k = + a k - i b k e i k x + 1 2 k = 1 k = + a k + i b k e - i k x

Im zweiten Summenterm substituieren wir - k = l bzw. k = - l

f ( x ) = 1 2 a 0 + 1 2 k = 1 k = + a k - i b k e i k x + 1 2 l = -1 l = - a - l + i b - l e i l x

und vertauschen gemäß

a 1 + a 2 = l = 1 l = 2 a l = a 2 + a 1 = l = 2 l = 1 a l

die Reihenfolge der Summation:

f ( x ) = 1 2 a 0 + 1 2 k = 1 k = + a k - i b k e i k x + 1 2 l = - l = -1 a - l + i b - l e i l x

Schließlich ergänzen wir bei a 0 eine 1 = e i 0 und benennen den Index l der rechten Summe in k um:

f ( x ) = 1 2 a 0 e i 0 + 1 2 k = 1 k = + a k - i b k e i k x + 1 2 k = - k = -1 a - k + i b - k e i k x = k = - k = + C ( k ) e i k x

Der Koeffizientenvergleich ergibt

C ( k ) = 1 / 2 a 0 k = 0 1 / 2 a k - i b k k > 0 1 / 2 a - k + i b - k k < 0

und umgekehrt

a 0 = 2 C ( 0 ) a k = C ( k ) + C ( - k ) b k = i C ( k ) - C ( - k ) k 0
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