Eigenschaften der Fouriertransformation
Konvolution (Faltung)
Gegeben seien zwei periodische Funktionen und sowie ihre Spektren bzw. . Die Multiplikation beider Funktionen erzeugt eine dritte Funktion, es gilt
Welcher Zusammenhang besteht zwischen mit und ? Wir betrachten zunächst ein einfaches Beispiel:
mit
schreiben wir als nächstes in der Form
Jeder der drei Summanden stellt eine Schiebung jeder Spektrallinie von dar, gefolgt von der Multiplikation mit dem entsprechenden Koeffizienten . Die Addition der drei Summanden ist Ausdruck der Linearität der Fouriersynthese. Ausmultiplizieren der Klammern und Addieren der Exponenten ergibt
Der Summand mit der Klammer ergibt - nach Ausklammern von - den Fourierkoeffizienten für :
In der ganz rechten Summe sind für die gegebenen Funktionen und nur die blauen Produkte ungleich Null, die übrigen sind Null und eingefügt, um das allgemeine Bildungsprinzip für feststellen zu können: Für jeden Term ist die Summe der beiden Indices gleich ! Deswegen können wir den zweiten Index auch durch , usw. ersetzen:
In dieser Form lässt sich in der abgekürzten Summenschreibweise notieren:
Alle anderen Koeffizienten ersehen wir aus der voll ausmultiplizierten obigen Gleichung
Für das Spektrum gilt also
Konvolution
Das Beispiel zeigt, dass für beliebige periodische Funktionen und das Spektrum ihres Produktes durch Multiplikation jedes Koeffizienten mit dem Koeffizienten der rechten Funktion und Summation über alle -Werte entsteht. Dieses Verfahren wird als Konvolution oder Faltung der Spektren und bezeichnet:
Vertauschen wir die beiden Funktionen, so gilt
Das resultierende Spektrum muss gleich sein, da die Multiplikation komplexer Zahlen kommutativ ist. Um dies zu beweisen, definieren wir , das wie im Bereich von bis liegt. Mit lautet dann die Konvolution
womit die Gleichheit der beiden Spektren bewiesen ist. Insgesamt gilt also
- Theorem
- Konvolutionssatz
- Sei und , so folgt
Anwendung in der Spektroskopie
Sei eine Mischung ungedämpfter harmonischer Funktionen mit und eine mit abfallende Funktion, z.B. mit . Die entsprechenden Spektren sind
- für und Null sonst und
- eine um zentrierte Linienverbreiterungsfunktion.
Das Spektrum des Produkts entsteht dann durch Konvolution von mit . Es resultieren verbreiterte Spektrallinien bei deren Form durch gegeben sind. Liegen die Spektrallinien dicht beieinander, so addieren sich die überlappenden Werte der Linienformfunktion.
Dekonvolution (Entfaltung)
Sei das gemessene Signal, sein berechnetes Spektrum. Ist im gemessenen Spektrum die Linienform einheitlich und bekannt, so lässt sich im Prinzip die Verbreiterung von Spektrallinien aufheben. Man berechnet aus und dividiert
Die Fouriertransformation von ergibt dann das unverbreiterte Spektrum . Diese Prozessierung spektraler Daten wird als Dekonvolution oder Entfaltung bezeichnet. Die praktische Tauglichkeit der Dekonvolution ist beschränkt. Die Messfunktion ist nämlich in der Regel mehr oder weniger verrauscht, so dass die Division durch mit steigenden -Werten einen ansteigenden Rauschpegel verursacht. Das resultierende unverbreiterte Spektrum ist folglich stärker verrauscht als und eine verbesserte Spektrenauswertung ist nicht möglich.