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Eigenschaften der Fouriertransformation

Konvolution (Faltung)

Gegeben seien zwei periodische Funktionen $F_{1} (x)$ und $F_{2} (x)$ sowie ihre Spektren $C_{1} (k)$ bzw. $C_{2} (k)$ . Die Multiplikation beider Funktionen erzeugt eine dritte Funktion, es gilt

F_{3} (x) = F_{1} (x) \cdot F_{2} (x) \Leftrightarrow C_{3} (k) .

Welcher Zusammenhang besteht zwischen $C_{3} (k)$ mit $C_{1} (k)$ und $C_{2} (k)$ ? Wir betrachten zunächst ein einfaches Beispiel:

F_{3} (x) = F_{1} (x) \cdot F_{2} (x) = (1 \cdot e^{i 2 x} + 2 \cdot e^{i 4 x}) \cdot (0,5 \cdot e^{i 1 x} + 1 \cdot e^{i 2 x} + 0,5 \cdot e^{i 3 x})

mit

Abb.1: Spektren

$F_{3} (x)$ schreiben wir als nächstes in der Form

F_{3} (x) = (1 \cdot e^{i 2 x} + 2 \cdot e^{i 4 x}) \cdot 0,5 e^{i 1 x} + (1 \cdot e^{i 2 x} + 2 \cdot e^{i 4 x}) \cdot 1 e^{i 2 x} + (1 \cdot e^{i 2 x} + 2 \cdot e^{i 4 x}) \cdot 0,5 e^{i 3 x}

Jeder der drei Summanden stellt eine Schiebung jeder Spektrallinie von $F_{1} (x)$ dar, gefolgt von der Multiplikation mit dem entsprechenden Koeffizienten $C_{2} (k)$ . Die Addition der drei Summanden ist Ausdruck der Linearität der Fouriersynthese. Ausmultiplizieren der Klammern und Addieren der Exponenten ergibt

F_{3} (x) = 1 \cdot 0,5 e^{i 3 x} + 1 \cdot 1 e^{i 4 x} + (0,5 \cdot 1 e^{i 5 x} + 2 \cdot 0,5 e^{i 5 x}) + 2 \cdot 1 e^{i 6 x} + 2 \cdot 0,5 e^{i 7 x}

Der Summand mit der Klammer ergibt - nach Ausklammern von $e^{i 5 x}$ - den Fourierkoeffizienten $C_{3} (k)$ für $k = 5$ :

C_{3} (5) = 0,5 \cdot 1 + 2 \cdot 0,5 = \dots + C_{1} (1) C_{2} (4) + C_{1} (2) C_{2} (3) (blau) + C_{1} (3) C_{2} (2) + C_{1} (4) C_{2} (1) (blau) + \dots

In der ganz rechten Summe sind für die gegebenen Funktionen $F_{1} (x)$ und $F_{2} (x)$ nur die blauen Produkte ungleich Null, die übrigen sind Null und eingefügt, um das allgemeine Bildungsprinzip für $C_{3} (5)$ feststellen zu können: Für jeden Term ist die Summe der beiden Indices gleich $5$ ! Deswegen können wir den zweiten Index auch durch $5 - 1$ , $5 - 2$ usw. ersetzen:

C_{3} (5) = \dots + C_{1} (1) C_{2} (5 -1) + C_{1} (2) C_{2} (5 -2) (blau) + C_{1} (3) C_{2} (5 -3) + C_{1} (4) C_{2} (5 -4) (blau) + \dots

In dieser Form lässt sich $C_{3} (5)$ in der abgekürzten Summenschreibweise notieren:

C_{3} (5) = \sum_{l = - \infty}^{l = + \infty} C_{1} (l) C_{2} (5 - l) =

Alle anderen Koeffizienten $C_{3} (k)$ ersehen wir aus der voll ausmultiplizierten obigen Gleichung

F_{3} (x) = 0,5 \cdot e^{i 3 x} + 1 \cdot e^{i 4 x} + 1.5 \cdot e^{i 5 x} + 2 \cdot e^{i 6 x} + 1 \cdot e^{i 7 x} .

Für das Spektrum gilt also

Abb.2: Spektrum

Konvolution

Das Beispiel zeigt, dass für beliebige periodische Funktionen $F_{1} (x)$ und $F_{2} (x)$ das Spektrum ihres Produktes durch Multiplikation jedes Koeffizienten $C_{1} (l)$ mit dem Koeffizienten $C_{2} (k - l)$ der rechten Funktion und Summation über alle $l$ -Werte entsteht. Dieses Verfahren wird als Konvolution oder Faltung der Spektren $C_{1} (k)$ und $C_{2} (k)$ bezeichnet:

F_{3} (x) = F_{1} (x) \cdot F_{2} (x) \Leftrightarrow C_{3} (k) = \sum_{l = - \infty}^{l = + \infty} C_{1} (l) \cdot C_{2} (k - l) .

Vertauschen wir die beiden Funktionen, so gilt

F_{3}^{ν} (x) = F_{2} (x) \cdot F_{1} (x) \Leftrightarrow C_{3}^{ν} (k) = \sum_{l = - \infty}^{l = + \infty} C_{2} (l) \cdot C_{1} (k - l) .

Das resultierende Spektrum $C_{3}^{ν} (k)$ muss gleich $C_{3} (k)$ sein, da die Multiplikation komplexer Zahlen kommutativ ist. Um dies zu beweisen, definieren wir $l' : = k - l$ , das wie $l$ im Bereich von $- \infty$ bis $+ \infty$ liegt. Mit $l = k - l'$ lautet dann die Konvolution

C_{3}^{ν} (k) = \sum_{l' = - \infty}^{l' = + \infty} C_{2} (k - l') \cdot C_{1} (l') = \sum_{l' = - \infty}^{l' = + \infty} C_{1} (l') \cdot C_{2} (k - l') = C_{3} (k) .

womit die Gleichheit der beiden Spektren bewiesen ist. Insgesamt gilt also

Theorem: Konvolutionssatz; Sei $F_{1} (x) \Leftrightarrow C_{1} (k)$ und $F_{2} (x) \Leftrightarrow C_{2} (k)$ , so folgt

Anwendung in der Spektroskopie

Sei $F_{1} (x)$ eine Mischung ungedämpfter harmonischer Funktionen $e^{i l x}$ mit $l = 100, 200, \dots$ und $F_{2} (x)$ eine mit $x$ abfallende Funktion, z.B. $e^{- β x}$ mit $β > 0$ . Die entsprechenden Spektren sind

$C_{1} (k) = 1$ für $k = l = 100, 200, \dots$ und Null sonst und
$C_{2} (k) =$ eine um $k = 0$ zentrierte Linienverbreiterungsfunktion.

Das Spektrum $C_{3} (k)$ des Produkts $F_{1} (x) \cdot F_{2} (x)$ entsteht dann durch Konvolution von $C_{1} (k)$ mit $C_{2} (k)$ . Es resultieren verbreiterte Spektrallinien bei $k = l = 100, 200, \dots,$ deren Form durch $C_{2} (k)$ gegeben sind. Liegen die Spektrallinien dicht beieinander, so addieren sich die überlappenden Werte der Linienformfunktion.

Dekonvolution (Entfaltung)

Sei $F_{3} (x) = F_{1} (x) \cdot F_{2} (x)$ das gemessene Signal, $C_{3} (k)$ sein berechnetes Spektrum. Ist im gemessenen Spektrum die Linienform $C_{2} (k)$ einheitlich und bekannt, so lässt sich im Prinzip die Verbreiterung von Spektrallinien aufheben. Man berechnet $F_{2} (x)$ aus $C_{2} (k)$ und dividiert

F_{1} (x) = \frac{F_{3} (x)}{F_{2} (x)}

Die Fouriertransformation von $F_{1} (x)$ ergibt dann das unverbreiterte Spektrum $C_{1} (k)$ . Diese Prozessierung spektraler Daten wird als Dekonvolution oder Entfaltung bezeichnet. Die praktische Tauglichkeit der Dekonvolution ist beschränkt. Die Messfunktion ist nämlich in der Regel mehr oder weniger verrauscht, so dass die Division durch $F_{1} (x)$ mit steigenden $x$ -Werten einen ansteigenden Rauschpegel verursacht. Das resultierende unverbreiterte Spektrum $C_{1} (k)$ ist folglich stärker verrauscht als $C_{3} (k)$ und eine verbesserte Spektrenauswertung ist nicht möglich.