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Eigenschaften der Fouriertransformation

Schiebung

Wir betrachten eine einfache Funktion und ihr Spektrum:

F 1 ( x ) = 2 e i 3 x C 1 ( k ) = 2 k = 3 0 k 3

Wie lautet das Spektrum, wenn F 1 ( x ) mit e i 4 x multipliziert wird? Das Ergebnis ist unmittelbar einsichtig durch Vereinigung der Exponenten:

F 2 ( x ) = F 1 ( x ) e i 4 x = 2 e i 3 x e i 4 x = 2 e i 7 x C 2 ( k ) = 2 k = 7 0 k 7
Abb.1
Spektren

Die Spektren zeigen, dass die Multiplikation von F 1 ( x ) mit e i 4 x nicht anderes bewirkt als eine Schiebung der Spektrallinie bei k = 3 zur Position bei k = 7. Beide Spektren hängen zusammen gemäß

C 2 ( k ) = C 1 ( k -4 ) = 2 k = 7 0 k 7

Dieses Ergebnis gilt für jede Funktion e i l x und für jede Spektrallinie einer beliebigen Funktion F 1 ( x ) . Allgemein gilt also der Zusammenhang:

Theorem
Schiebungstheorem
F 1 ( x ) C 1 ( k ) F 2 ( x ) = F 1 ( x ) e i l x C 2 ( k ) C 2 ( k ) = C 1 ( k - l )

Allgemeine Herleitung

Es gilt

F 1 ( x ) = k = - k = + C 1 ( k ) e i k x und F 2 ( x ) = k = - k = + C 2 ( k ) e i k x  ,

sowie

F 2 ( x ) = F 1 ( x ) e i l x = e i l x k = - k = + C 1 ( k ) e i k x = k = - k = + C 1 ( k ) e i l x e i k x = k = - k = + C 1 ( k ) e i ( k + l ) x  .

Wir definieren k ' : = k + l , was ebenso wie k im Bereich von - bis + liegt. Mit k = k ' - l lautet dann die Summe rechts außen:

F 2 ( x ) = k ' = - k ' = + C 1 ( k ' - l ) e i k ' x  .

Die Summation ist unabhängig von der Bezeichnung des Summationsindexes, also schreiben wir wieder k für k ' und erhalten

F 2 ( x ) = k = - k = + C 1 ( k - l ) e i k x = k = - k = + C 2 ( k ) e i k x  .

Durch Vergleich der beiden Summen folgt C 2 ( k ) = C 1 ( k - l ) !

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