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Eigenschaften der Fouriertransformation

Symmetrie

Im Folgenden gehen wir auf Entdeckungsreise für die Symmetrieeigenschaften komplexer Spektren für spezielle Eigenschaften der Funktion F ( x ) .

Den Ausführungen legen wir als einfache Beispiele die Euler´schen Gleichungen in der Form

cos 3 x + i sin 3 x = e + i 3 x und cos 3 x - i sin 3 x = e - i 3 x

zugrunde und lösen sie nach den cos , sin -Termen auf (gezeigt sind auch die zugehörigen Vektordiagramme).

2 cos 3 x = 1 e + i 3 x + 1 e - i 3 x und 2 sin 3 x = - i e + i 3 x + i e - i 3 x
Abb.1
Vektordiagramme

Beide Gleichungen dienen uns als Ausgangspunkt für sechs repräsentative Beispiele für F ( x ) . Für die rein reellen Funktionen sind in den Beispielen auch die zugehörigen Fourierkoeffizienten der reellen Fourieranalyse gezeigt.

Die folgende Tabelle fasst die in den Beispielen hergeleiteten Symmetrieeigenschaften zusammen.

Tab.1
Symmetrieeigenschaften einiger Funktionen
Funktion F ( x ) Spektrum C ( k )
rein reell & gerade rein reell & Re C ( - k ) = Re C ( k )
rein reell & ungerade rein imaginär & Im C ( - k ) = - Im C ( k )
rein reell komplex & C ( - k ) = C * ( k )
rein imaginär & gerade rein imaginär & Im C ( - k ) = Im C ( k )
rein imaginär & ungerade rein reell & Re C ( - k ) = - Re C ( k )
komplex rein reell & komplex
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