Symmetrie

Im Folgenden gehen wir auf Entdeckungsreise für die Symmetrieeigenschaften komplexer Spektren für spezielle Eigenschaften der Funktion $\mathit{F}(\mathit{x})$.

Den Ausführungen legen wir als einfache Beispiele die Euler´schen Gleichungen in der Form

$$cos3\mathit{x}+\text{i}\cdot sin3\mathit{x}={\text{e}}^{+\text{i}3\mathit{x}}\text{und}cos3\mathit{x}-\text{i}\cdot sin3\mathit{x}={\text{e}}^{-\text{i}3\mathit{x}}$$

zugrunde und lösen sie nach den $cos$, $sin$-Termen auf (gezeigt sind auch die zugehörigen Vektordiagramme).

$$2cos3\mathit{x}=1\cdot {\text{e}}^{+\text{i}3\mathit{x}}+1\cdot {\text{e}}^{-\text{i}3\mathit{x}}\text{und}2sin3\mathit{x}=-\text{i}\cdot {\text{e}}^{+\text{i}3\mathit{x}}+\text{i}\cdot {\text{e}}^{-\text{i}3\mathit{x}}$$

Beide Gleichungen dienen uns als Ausgangspunkt für sechs repräsentative Beispiele für $\mathit{F}(\mathit{x})$. Für die rein reellen Funktionen sind in den Beispielen auch die zugehörigen Fourierkoeffizienten der reellen Fourieranalyse gezeigt.

• Beispiel 1: Rein reelle gerade Funktion
• Beispiel 2: Rein reelle ungerade Funktion
• Beispiel 3: Rein reelle Funktion
• Beispiel 4: Rein imaginäre gerade Funktion
• Beispiel 5: Rein imaginäre ungerade Funktion
• Beispiel 6: Komplexe $\mathit{e}$-Funktion

Die folgende Tabelle fasst die in den Beispielen hergeleiteten Symmetrieeigenschaften zusammen.