Linearität der Fouriertransformation

Eine der wichtigsten Eigenschaften der Fouriersynthese ist die Linearität:

Theorem

1.) Wird eine Funktion mit einer komplexen Konstanten $\mathit{z}$ multipliziert, so wird auch ihr Spektrum mit $\mathit{z}$ multipliziert:

$$\text{Wenn}{\mathit{F}}_1(\mathit{x})\iff {\mathit{C}}_1(\mathit{k})\text{so gilt}{\mathit{F}}_2(\mathit{x})=\mathit{z}\cdot {\mathit{F}}_1(\mathit{x})\iff {\mathit{C}}_2(\mathit{k})=\mathit{z}\cdot {\mathit{C}}_1(\mathit{k})$$

2.) Das Spektrum der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Spektren der einzelnen Zeitfunktionen:

$$\begin{array}{lcrll}& \text{Wenn}& {\mathit{F}}_1(\mathit{x})\iff {\mathit{C}}_1(\mathit{k})& \text{und}& {\mathit{F}}_2(\mathit{x})\iff {\mathit{C}}_2(\mathit{k})\\ & \text{so gilt}& \mathit{F}(\mathit{x})={\mathit{F}}_1(\mathit{x})+{\mathit{F}}_2(\mathit{x})& \iff & \mathit{C}(\mathit{k})={\mathit{C}}_1(\mathit{k})+{\mathit{C}}_2(\mathit{k})\end{array}$$

Beide Sätze sind durch Einsetzen in die Gleichung der komplexen Fouriersynthese und Umformung leicht beweisbar. Sie gelten auch in umgekehrter Richtung: Addieren wir die Spektren zweier Funktionen, so ergibt die Fouriersynthese mit dem Summenspektrum die Summe der beiden Funktionen.

Durch Kombination der Sätze (1) und (2) entsteht der allgemeine Linearitätssatz der Fouriertransformation:

Theorem

Linearitätssatz der FT:

$$\mathit{F}(\mathit{x})={\mathit{z}}_1{\mathit{F}}_1(\mathit{x})+{\mathit{z}}_2{\mathit{F}}_2(\mathit{x})\iff \mathit{C}(\mathit{k})={\mathit{z}}_1{\mathit{C}}_1(\mathit{k})+{\mathit{z}}_2{\mathit{C}}_2(\mathit{k})$$

Die Relation $\iff$ gilt in beide Richtungen.

Die Linearität ist äußerst nützlich bei der Berechnung des Spektrums einer Funktion $\mathit{F}(\mathit{x})={\mathit{F}}_1(\mathit{x})+{\mathit{F}}_2(\mathit{x})$, bei denen die Spektren für ${\mathit{F}}_1(\mathit{x})$ und ${\mathit{F}}_2(\mathit{x})$ leicht bestimmbar sind (siehe Komplexe Fourieranalyse - Rechteckfunktion).

Weiter ist die Linearität eine Grundvoraussetzung für die praktischen Anwendungen der Fouriertransformation in der chemischen instrumentellen Analytik. Seien z.B. ${\mathit{C}}_1(\mathit{k})$ und ${\mathit{C}}_2(\mathit{k})$ die NMR-Spektren zweier Substanzen $1$ und $2$ mit den Konzentrationen ${\mathit{m}}_1$ bzw. ${\mathit{m}}_2$. Messen wir das NMR-Spektrum $\mathit{C}(\mathit{k})$ einer Mischung beider Substanzen mit den gleichen Konzentrationen ${\mathit{m}}_1$ bzw. ${\mathit{m}}_2$, so gilt $\mathit{C}(\mathit{k})={\mathit{C}}_1(\mathit{k})+{\mathit{C}}_2(\mathit{k})$.