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Eigenschaften der Fouriertransformation

Das komplexe Spektrum $C (k)$ ist die Gesamtheit der Fourierkoeffizienten, die eine komplexe periodische Zeitfunktion $F (t)$ gemäß der Gleichung

F (t) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} C (k) \cdot e^{i k 2 π t / T} Komplexe Fouriersynthese

erzeugt. Die Gleichung ist nicht auf Zeitfunktionen beschränkt, Ortsfunktionen sind gleichermaßen synthetisierbar. Solche treten in der IR-FT-Spektroskopie auf, bei der die Messfunktion von der linearen Verschiebung $s / cm$ eines Spiegels abhängt. Die Periode ist hier eine Länge $L / cm$ . Entsprechend gilt

F (t) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} C (k) \cdot e^{i k 2 π s / L}

Es ist mathematisch zweckmäßig, die Formeln und Herleitungen vom jeweiligen Anwendungsbezug zu befreien und sie in eine kompaktere Schreibweise zu überführen, die das Wesentliche übersichtlicher gestaltet als in obigen Gleichungen.

Dies geschieht durch Einführung einer allgemeinen Variablen $x$ , die die Bogenlänge auf dem Einheitskreis angibt. Die Periodenlänge ist in diesem Fall die Bogenlänge $2 π$ (ein voller Umlauf auf dem Einheitskreis):

$x (t) = 2 π t / T$ Zeitfunktion mit der Periode $T$ in $s$
$x (s) = 2 π s / L$ Ortsfunktion mit der Periode $L$ in $cm$

Die Fourierreihe für $F (x)$ baut sich demgemäß aus den Funktionen $e^{i k x}$ auf. $e^{i 3 x}$ besitzt entsprechend drei $cos, sin$ -Perioden in der Periodenlänge $2 π$ . Allgemeine Formulierung der Fouriersynthese

F (x) = F (x + 2 π) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} C (k) \cdot e^{i k x} oder kurz F (x) \Leftrightarrow C (k)

Gleichungen und Ergebnisse in der $x$ -Darstellung lassen sich durch Resubstitution $x (t) = 2 π t / T$ oder $x (s) = 2 π s / L$ und Ersatz von $2 π$ durch $T$ bzw. $L$ in die $t$ - bzw. $s$ -Darstellung zurückführen.

Spezielle Formen von $F (x)$ bzw. $C (k)$

\begin{array}{rclclcl} F (x) & = & Re F (x) + i \cdot Im F (x) & = & f (x) + i \cdot 0 & \Rightarrow & rein reelle Funktion \\ F (x) & = & Re F (x) + i \cdot Im F (x) & = & 0 + i \cdot g (x) & \Rightarrow & rein imaginäre Funktion \\ C (k) & = & Re C (k) + i \cdot Im C (k) & = & c (k) + i \cdot 0 & \Rightarrow & rein reelles Spektrum \\ C (k) & = & Re C (k) + i \cdot Im C (k) & = & 0 + i \cdot d (k) & \Rightarrow & rein imaginäres Spektrum \end{array}

Die Einfügung „rein” zielt auf Eindeutigkeit für die Wahl der Art der Fouriersynthese (oder Analyse). Wird eine Funktion von $x$ als reell bezeichnet, so impliziert dies in der Regel die reelle Fouriersynthese. Erfolgt die Spezifikation als rein reell, so ist die komplexe Fouriersynthese anzuwenden. Von praktischer Bedeutung ist diese Notierung bei der Praxis der Fouriertransformation.

Wichtige Eigenschaften der Fouriertransformation