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Komplexe Fouriersynthese

Komplexe Fouriersynthese

Der rotierende Punkt

Im Kapitel „Positive und Negative Kreisfrequenzen” (siehe NMR-Spektroskopie) zeigt sich, dass die gleichförmige Kreisbewegung eines Punktes (Kreisfrequenz ω ) durch die komplexe Funktion

z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) = e i ω t = e i 2 π ν t

in der Gauß´schen Zahlenebene beschrieben wird, wenn der Punkt zur Zeit t = 0 auf der reellen Achse bei Eins liegt, d.h. z ( 0 ) = 1 + i 0 gilt. Für t = 1 / ν = T erreicht der Punkt wegen e i 2 π ν / ν = e i 2 π = 1 wieder seinen Startwert für t = 0 . Die komplexe Funktion e i 2 π ν t ist also periodisch in T = 1 / ν . Die komplexe Zahl z ( t ) ist als Vektor der Länge Eins zu verstehen, der vom Ursprung der Gaußebene zum kreisenden Punkt weist (rotierender Zeiger).

Zwei rotierende Punkte

Wir betrachten nun zwei Punkte 1 und 2 , die auf konzentrischen Kreisen mit gleichem Radius rotieren. Bilden wir die Summe der beiden sie beschreibenden komplexen Zahlen z 1 ( t ) und z 2 ( t ) , so entsteht

z ( t ) = z 1 ( t ) + z 2 ( t ) = x 1 ( t ) + i y 1 ( t ) + x 2 ( t ) + i y 2 ( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t ) + i y 1 ( t ) + y 2 ( t ) .

Die resultierende komplexe Zahl z ( t ) entspricht einem dritten Vektor in der Gaußebene, der durch Addition der beiden Vektoren für die Punkte 1 und 2 entsteht. Er beschreibt die Bewegung eines dritten Punktes 3 in der Gaußebene, dessen Komponenten auf der reellen und imaginären Achse gleich der Summe der Real- bzw. Imaginärteile von z 1 ( t ) und z 2 ( t ) ist. Die Bewegung von Punkt 3 verläuft im allgemeinen nicht mehr auf dem Einheitskreis.

Die folgende Animation verdeutlicht den Zeitablauf aller drei Punkte als Funktion der Frequenz und Phase des Punktes 2 .

Animation: Zwei kreisende Punkte und ihre Vektorsumme

Die Animation hat das in der folgenden Abbildung gezeigte Erscheinungsbild und ist weiter unten zu starten.

Abb.1
Animation

Hinweise

  1. Der rote Punkt liegt nach Anklicken von „Reset” ( t = 0 ) immer auf der positiven reellen Achse (horizontale Achse). Nach „Start” rotiert er immer mit der gleichen positiven Kreisfrequenz ω !
  2. Der blaue Punkt liegt nach Anklicken von „Reset” ( t = 0 ) irgendwo auf seiner Kreisbahn je nach Stellung des oberen Reglers „Phase”, z.B.
    • auf der positiven reellen Achse ( Phase = 0 ) ,
    • auf der positiven imaginären Achse ( Phase = π / 2 ) ,
    • auf der negativen reellen Achse ( Phase = π ) ,
    • auf der negativen imaginären Achse ( Phase = 3 π / 2 )
    und rotiert nach „Start” mit einem reellen Vielfachen k der Kreisfrequenz des roten Punktes, das im unteren Regler „Frequenz” eingestellt wird, es gilt also ω = k ω .
  3. Der grüne Punkt ist der Endpunkt der Vektorsumme beider Vektoren des roten und blauen Punktes.
  4. Die Projektion jedes Punktes auf die reelle und imaginäre Achse ist auf der Geraden unten bzw. seitlich rechts gezeigt, im Diagramm rechts zusätzlich die Auftragung des imaginären Teils gegen die Zeit.
  5. Die Vektorlängen (Kreisradien) sind für den roten und blauen Punkt gleich und entsprechen den Amplituden p der rechts gezeigten roten und blauen Schwingungen.

Führen Sie folgende Schritte nach Start der Animation durch:

  1. Klicken Sie nacheinander auf die Tasten Start, Stop und Reset!
  2. Bewegen Sie dann den „Phase”-Regler mit niedergedrückter linker Maustaste! Effekt? Stellen Sie dann den Wert 0.0 ein!
  3. Stellen Sie mit dem „Frequenz”-Regler die Frequenz auf den Wert 2.0 ein!
  4. Klicken sie auf den Start-Knopf!
  5. Beobachten Sie die Bewegung der drei Punkte!
  6. Verschieben Sie dann mit niedergedrückter linker Maustaste den „Frequenz”-Regler. Beobachten Sie weiter!
  7. Beenden Sie die Animation durch Anklicken der x-Taste ganz oben rechts!

Start der Animation

Die Animation zeigt:

  1. Für ein negatives Vielfaches k = - a (blau) rotiert der blaue Punkt entgegengesetzt zum roten Punkt, dabei entsteht ein anderes Zeitverhalten des grünen Punktes als für k = + a (blau)!
  2. Die Projektion des grünen Punktes auf die reelle Achse definiert eine reelle periodische Funktion, als Re f ( t ) (grün) bezeichnet (Realteil einer komplexen Funktion f ( t ) (grün)). Sie ist gleich der Summe der Projektionen des roten und blauen Punktes auf die reelle Achse. Entsprechendes gilt für die Projektionen auf die imaginäre Achse (siehe auch Zeitdiagramm rechts). Hier entsteht die reelle Funktion Im f ( t ) (grün) (Imaginärteil einer komplexen Funktion f ( t ) (grün)).
  3. Liegen der rote und blaue Punkt zu Beginn auf der reellen Achse (beide Phasen sind Null), so sind Re f ( t ) (grün) und Im f ( t ) (grün) eine Summe von allein Kosinus- bzw. Sinusfunktionen.
  4. Liegt der blaue Punkt zu Beginn nicht auf der reellen Achse, sondern ist um einen Winkel φ (blau) gedreht (als Phase bezeichnet), so wird seine Bewegung durch e i ( φ + k ω t ) = e i φ e i k ω t (blau) beschrieben. In diesem Fall mischen sich im Allgemeinen Kosinus- und Sinusfunktionen in Re f ( t ) (grün) bzw. Im f ( t ) (grün).

Algebraische „Projektion” für zwei kreisende Punkte

Die in der Animation gezeigten Projektionen für die beiden konzentrisch kreisenden Punkte und ihre vektorielle Summe führen wir nun algebraisch explizit durch. Wir addieren, wie zu Beginn des Kapitels allgemein gezeigt, die beiden e-Terme, verwenden die Euler´sche Formel und trennen nach Real- und Imaginärteil.

Fall φ (rot) = φ (blau) = 0

e i ω t (rot) + e i ω t (blau) = cos ω t (rot) + i sin ω t (rot) + cos ω t (blau) + i sin ω t (blau) = cos ω t (rot) + cos ω t (blau) + i sin ω t (rot) + sin ω t (blau)

Die beiden rechten Klammern sind die Projektionen des grünen Punktes auf die reelle bzw. imaginäre Achse, es gilt:

Re f ( t ) (grün) = cos ω t (rot) + cos ω t (blau) und Im f ( t ) (grün) = sin ω t (rot) + sin ω t (blau)

Es folgt

e i ω t (rot) + e i ω t (blau) = Re f ( t ) (grün) + i Im f ( t ) (grün) = f ( t ) (grün)

Die so definierte komplexe Zeitfunktion f ( t ) (grün) , entstanden durch Addition der komplexen e-Funktionen, beschreibt die Bewegung der zwei kreisenden Punkte durch eine Gleichung.

Fall φ = 0 (rot) und φ 0 (blau)

e i ω t (rot) + e i φ e i ω t (blau) = cos ω t (rot) + i sin ω t (rot) + cos φ (blau) + i sin φ (blau) cos ω t (blau) + i sin ω t (blau) = cos ω t (rot) + cos φ cos ω t (blau) - sin φ sin ω t (blau) + i sin ω t (rot) + sin φ cos ω t (blau) + cos φ sin ω t (blau) = Re f ( t ) (grün) + i Im f ( t ) (grün) = f ( t ) (grün)

Die Herleitung zeigt die Mischung von cos - und sin -Funktionen in Re f ( t ) (grün) bzw. Im f ( t ) (grün) , wenn die Phase eines kreisenden Punktes nicht Null ist.

Fall beliebiger Radien und Phasen

Wir erweitern nun die Behandlung auf beliebige Phasen und Radien der beiden kreisenden Punkte. Da die Radien gleich den Amplituden der jeweiligen cos - und sin -Schwingung sind, treten sie als reeller Vorfaktor p der e-Terme auf (siehe Amplituden- und Phasenspektren der reellen Fouriersynthese). Für zwei konzentrisch kreisende Punkte gilt demnach allgemein:

f ( t ) (grün) = p e i φ e i ω t (rot) + p e i φ e i ω t (blau) = C e i ω t (rot) + C e i ω t (blau) C p e i φ

Vor jedem Schwingungsterm e i ω t steht ein Amplitudenfaktor p und Phasenfaktor e i φ . Sie werden zum komplexen Fourierkoeffizienten C : = p e i φ zusammengefasst.

Komplexe Fouriersynthese periodischer Funktionen

Was wir am Beispiel von zwei Punkten gelernt haben, gilt für eine beliebige Zahl konzentrisch kreisender Punkte. Für die „Synthese” einer komplexen periodischen Funktion F ( t ) = F ( t ± T ) ergibt sich somit die folgende allgemeine Berechnungsvorschrift.

F ( t ) = Re F ( t ) + i Im F ( t ) = k = - + C ( k ) e i k Δ ω t
Hinweis
k ist eine ganze Zahl und Δ ω = 2 π / T ist die Schrittweite der Kreisfrequenzen.

Praktische Bedeutung der komplexen Fouriersynthese

Die komplexe Fouriersynthese besticht durch ihre knappe Formulierung, ist aber wegen der Verwendung der imaginären Einheit weniger anschaulich als die reelle Form. Vielen sind komplexe Zahlen fremd, um nicht zu sagen ein Greuel. Umso mehr gilt dies für die Gleichung der komplexen Fouriersynthese. Reicht es nicht aus, die Gleichungen der reellen Fouriersynthese und Fourieranalyse zu beherrschen, die in früheren Kapiteln behandelt worden sind? Die Antwort ist ein klares Nein! Den Lernenden kann deswegen empfohlen werden, mit der komplexen Fouriersynthese - falls nicht bereits anderer Stelle geschehen - die Welt der komplexen Zahlen kennen zu lernen. Zwei praktische Beispiele ihrer Nützlichkeit mögen den nötigen Anreiz geben.

Stereoradio ist Standard in jedem Haushalt. Ihren Anfang nimmt sie mit zwei Mikrofonen rechts und links im Studio. Wir denken uns eine Quelle (Gesang, Flöte, o.a.) des Kammertons a ' nahe dem rechten Mikrofon. Die Mikrofone erzeugen zwei Wechselspannungen R und L , die sich in Amplitude und Phase, nicht aber in den relativen Anteilen des Grundtons 440 Hz und der Oberschwingungen 880 Hz , 1320 Hz usw. unterscheiden (siehe Tonmischungen). Setzen wir Re f ( t ) = R und Im f ( t ) = L , so entspricht

f ( t ) = Re f ( t ) + i Im f ( t ) dem Stereoton! Zwei Dinge werden also in einer mathematischen Funktion kodiert (Zeitdomäne). Das dazugehörige Spektrum C ( k ) charakterisiert den Stereoton in der Frequenzdomäne.

Das zweite Beispiel betrifft die so genannten Fourierspektrometer der instrumentellen chemischen Analytik (allen voran NMR, ESR). Hier liefern die Detektoren zwei zeitabhängige Messspannungen R und L , die ebenso wie beim Stereoton zu f ( t ) vereinigt werden und dann auf der Basis der komplexen Fouriersynthese in das gewünschte NMR-Spektrum umgerechnet werden. Folglich setzt das Kapitel Praxis der Fouriertransformation die Vertrautheit mit obiger Formel voraus.

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