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Komplexe Fouriersynthese

Positive und negative Kreisfrequenzen

Die Frequenz ν = 10 Hz gibt an, dass sich ein periodisches Ereignis 10 mal pro Sekunde wiederholt, z.B. für die Winkelfunktionen cos 2 π ν t und sin 2 π ν t der maximale positive Wert (Schwingungsamplitude oder Scheitelwert). Frequenzwerte können deswegen nur positiv sein, die Angabe n = -10 Hz ist streng gesehen sinnlos. Mit der Definition der Kreisfrequenz ω = 2 π ν schreibt sich das Kosinus- bzw. Sinusargument kürzer, also cos ω t und sin ω t . ω gibt an, wie oft das Winkelfunktionsargument den Wert 2 π pro Sekunde annimmt und ist ebenso wie ν streng genommen immer positiv.

Mit der Kreisfrequenz verbindet sich auch eine physikalische Bedeutung. ω gibt an, wie viele volle Drehungen 2 π ein auf einem Kreis umlaufender Punkt pro Sekunde durchführt (Einheitskreis). Einer Kreisbewegung ist wiederum eine konstante Winkelgeschwindigkeit zugeordnet, die wie jede Geschwindigkeit der Physik ein Vektor ist. Er steht senkrecht auf der x , y -Kreisebene, seine Länge (Betrag) ist gleich ω . Er weist in die positive z -Achse, wenn der Punkt im Anti-Uhrzeigersinn rotiert und nach unten für eine Drehung im Uhrzeigersinn. Beide Fälle sind nachfolgend gezeigt.

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Abb.1
Positive und negative Kreisfrequenzen

A: positiver Umlaufsinn; Anti-Uhrzeigersinn; counterclockwise (ccw) B: negativer Umlaufsinn; Uhrzeigersinn; clockwise (cw)

Wir versetzen uns nun in die Lage eines fernen Beobachters in der Ebene des Kreises.

  • Blickt er in die y -Richtung, so sieht er die Projektion des Punktes auf die x -Achse. Für die gezeigte Startposition beobachtet er in beiden Fällen die Schwingung cos ω t . Der Beobachter kann also nicht feststellen, welchen Drehsinn der Punkt besitzt.
  • Der Blick in die x -Richtung macht ihn nicht schlauer. Zwar ergibt nun die Projektion des Punktes auf die y -Achse vom gezeigten Startpunkt die unterschiedlichen Beobachtungen + sin ω t und - sin ω t bei Drehung in Anti-Uhrzeigersinn bzw. Uhrzeigersinn. Allerdings ist die reale Startposition nicht feststellbar, da die Punktlagen 0° und 180° zu Beginn die gleiche Projektion ergeben. Zeigt also die Beobachtung + sin ω t , so bestehen die Möglichkeiten Punktlage 0° mit Anti-Uhrzeigersinn oder Punktlage 180° mit Uhrzeigersinn. Entsprechendes gilt für - sin ω t . Wiederum bleibt dem Beobachter der tatsächliche Drehsinn unbekannt.

Es erweist sich, dass mit einer Beobachtung lediglich die Kreisfrequenz zugänglich ist. Dieser Befund ist keine Überraschung. Kreisfrequenz und Drehsinn sind zwei unabhängige Messgrößen, die mit einer Messung nicht beide bestimmbar sind. Teamwork zweier Beobachter ist erforderlich, die zeitgleich jeweils in x - bzw. y -Richtung schauen und ihre Ergebnisse kombinieren. Die folgende Tabelle zeigt das Resultat.

Tab.1
Kreisfrequenz
Beobachter 1Beobachter 2
Anti-Uhrzeigersinn cos ω t + sin ω t
Uhrzeigersinn cos ω t - sin ω t

Die getrennte Behandlung der beiden zusammenhängenden Beobachtungen ist unbequem. Eine Kombination zu einem Ausdruck erlaubt die imaginäre Einheit i . Wir schreiben Ergebnis 1 und 2 als Realteil bzw. Imaginärteil einer komplexen Zahl und nutzen die Euler´sche Formel:

Anti-Uhrzeigersinn cos ω t + i sin ω t = e + i ω t = e i ( + ω ) t Uhrzeigersinn cos ω t + i ( - sin ω t ) = e - i ω t = e i ( - ω ) t

Die beiden Exponentialausdrücke ganz rechts zeigen deutlich, das in der Klammer des Exponenten zwei Informationen enthalten sind:

  • Das Vorzeichen legt den Drehsinn fest.
  • ω ist die (eigentlich immer positive) Kreisfrequenz.

Es ist üblich, beide Informationen zur Aussage „positive” und „negative” Kreisfrequenz zusammenzufassen. Entsprechend, wegen ν = ω / 2 π , spricht man auch von „positiven” und „negativen” Frequenzen.

Darstellung im Vektordiagramm

Der im Anti-Uhrzeigersinn kreisende Punkt im x , y -Koordinatensystem ist ein reales Objekt. Seine Beschreibung durch den komplexen Ausdruck e i ω t ist zwar kompakt, aber wenig anschaulich.

Hier hilft ein kleiner Trick. Wir verlassen das reelle x , y -Koordinatensystem und gehen in die komplexe (Gauß´sche) Zahlenebene über. In ihr wird eine komplexe Zahl z = 1 r + i s auf der horizontalen Achse ( r ) in Einheiten von 1 und auf der vertikalen Achse ( s ) in Einheiten von i dargestellt. z ist dann ein Punkt mit der Abszisse r und Ordinate s der „komplexen” Ebene. Für den kreisenden Punkt gilt also r = cos ω t und s = sin ω t .

Wir sehen nun den kreisenden Punkt als Endpunkt eines Vektors an, der im Mittelpunkt des Kreises fixiert ist. Der Ausdruck e i ω t = cos ω t + i sin ω t gewinnt damit die anschauliche Bedeutung eines rotierenden Vektors in der komplexen Zahlenebene. Für t = 0 liegt er auf der reellen Achse und weist nach rechts:

Abb.2
Die komplexe (Gaußsche) Zahlenebene

Der gezeigte Vektor (Zeiger) beschreibt den kreisenden Punkt und hat die Komponenten: r = cos ω t ; s = sin ω t Er stellt die geometrische Repräsentation von e i ω t dar.

Als Vektor interpretiert hat die komplexe Zahl z = r + i s die Form z = ( r , i s ) , d.h. die Vektorkomponenten sind reell bzw. imaginär. Das Betragsquadrat einer komplexen Zahl ist gleich z z * und entspricht dem reellen Skalarprodukt des z zugeordneten Vektors

z z * = ( r , i s ) ( r , i s ) * = ( r , i s ) ( r , - i s ) = r 2 + i s r - i s r + s 2 = r 2 + s 2

Die reelle Länge des Vektors ist also gleich der Quadratwurzel von z z * . Er zeigt, immer ausgehend vom Ursprung der komplexen Zahlenebene, mit seiner Pfeilspitze auf den kreisenden Punkt. Dies ähnelt der Bewegung des Zeigers analoger Messinstrumente in der Technik. Es ist deswegen üblich, bei der Darstellung von e i ω t in der komplexen Ebene von einem Zeigerdiagramm zu sprechen.

Rotierende Kompassnadel

Die Notierung der Kreisbewegung des Punktes in Form e i ω t ist keine mathematische Spielerei, sondern findet vielfältige praktische Anwendung.

Ein Beispiel ist die gleichförmige Drehung einer Kompassnadel. Ihr zugeordnet ist der magnetische Dipolvektor der Länge μ , der im x , y -Koordinatensystem gleichförmig um den Nullpunkt rotiert. Denken wir uns diesen Dipolvektor in die Gauß´sche Zahlenebene versetzt, so wird die Zeitabhängigkeit seiner Bewegung durch μ e i ω t kompakt beschrieben. Legen wir um die Kompassnadel zwei Spulen, deren Achsen senkrecht aufeinander stehen und beide in der Kreisebene liegen, so werden in ihnen zwei messbare Spannungen induziert. Sie sind proportional der Zeitableitung der Vektorkomponente in der jeweiligen Spulenachse. Es resultieren zwei Messspannungen, die proportional ω cos ω t bzw. ω sin ω t sind. Damit lässt sich die gesamte Messung mit dem Ausdruck ω e ± i ω t beschreiben, wobei das positive Vorzeichen die Anti-Uhrzeigersinn-Drehung angibt und das negative Vorzeichen jene im Uhrzeigersinn. In der theoretischen Beschreibung der NMR-Spektroskopie spielt diese Darstellungsform eine wichtige Rolle.

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