zum Directory-modus

Fouriertransformation

Allgemeine Notierung der FT

Fouriersynthese und Fourieranalyse sind nicht auf Zeitfunktionen beschränkt. Periodische Ortsfunktionen sind gleichermaßen synthetisierbar. Sie treten z.B. in der IR-FT-Spektroskopie auf, bei der die Messfunktion von der linearen Verschiebung s / cm eines Spiegels abhängt. Die Periode ist hier eine Länge L / cm . Je nach Art der Anwendung sind weitere Typen unabhängiger Variabler möglich. Entscheidend ist die Periodizität der jeweiligen Funktion.

Es ist mathematisch zweckmäßig, die Formeln und Herleitungen vom jeweiligen Anwendungsbezug zu befreien und sie in die denkbar kürzeste Schreibweise mit einer Variablen x zu überführen, die das Wesentliche übersichtlicher gestaltet als in den Argumenten der Winkelfunktionen für Zeit- und lineare Ortsvariable.

Umwandlung in die x -Notierung

Sie geschieht gemäß der Definitionen

  • x ( t ) = 2 π t / T Zeitfunktion mit der Periode T in s
  • x ( s ) = 2 π s / L Ortsfunktion mit der Periode L in cm

x gibt die Bogenlänge auf dem Einheitskreis an. Die Periodenlänge ist die Bogenlänge 2 π eines vollen Umlaufs auf dem Einheitskreis.

In der x -Notierung der reellen Fourierreihe einer Funktion f ( x ) = f ( x + 2 π ) haben die Terme demgemäß die Form a k cos k x und b k sin k x . Der Index k = 0 , 1 , 2 , gibt die Zahl der Perioden des jeweiligen Kosinus bzw. Sinus im Intervall 2 π an. Die Terme der Fourierreihe für eine komplexe Funktion F ( x ) = F ( x + 2 π ) lauten entsprechend e i k x . e i 3 x besitzt drei cos, sin-Perioden im Intervall 2 π .

Rückwandlung in die t -Notierung

Sie geschieht gemäß

  • Synthese- und Analysegleichungen
    1. π ersetzen durch T / 2
    2. x ersetzen durch 2 π t / T
  • Spektren
    1. π ersetzen durch T / 2
    2. k ersetzen durch 2 π k / T

Die Rückwandlung in die s -Notierung für Ortsfunktionen erfolgt entsprechend.

Seite 2 von 3