zum Directory-modus

Fouriertransformation

Amplituden- und Phasenspektrum

Das spektrale Bild einer Funktion f ( t ) ist erst vollständig, wenn Kosinus- und Sinusspektrum vorliegen, sei es grafisch oder analytisch. Häufig besteht jedoch der Wunsch nach einem Spektrum, das die Amplitude einer harmonischen Schwingung der Frequenz ν k anzeigt, unabhängig davon, ob in der Fourierreihe für diese Frequenz nur der Kosinus, nur der Sinus oder beide auftreten. Ein solches Spektrum wird als Amplitudenspektrum bezeichnet und erhält das Symbol p k . (Abb. 1) verdeutlicht das Prinzip der beiden alternativen Spektrendarstellungen.

Abb.1
Prinzip der alternativen Formulierung der Fourierreihe ( 2 π k / T = ω k )

oben: Reihenentwicklung mit a k cos ω k t und b k sin ω k t (Kosinus- und Sinusspektrum) unten: Reihenentwicklung mit p k sin ( ω k t + φ k ) (Amplituden- und Phasenspektrum)

Der Zusammenhang beider Spektrendarstellungen lässt sich herleiten mit

sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

Für eine beliebige Kreisfrequenz ersetzen wir die Summe a cos ω t + b sin ω t durch den Ausdruck:

p sin ( ω t + φ ) = p sin φ cos ω t + p cos φ sin ω t .

Koeffizientenvergleich ergibt den Zusammenhang:

a = p sin φ ; b = p cos φ ; a / b = sin φ / cos φ = tan φ

Diese drei Beziehungen gelten für jede Kreisfrequenz ω k . Der Phasenwinkel φ k bestimmt den jeweiligen relativen Anteil von Kosinus und Sinus. In der p / φ - Darstellung nimmt die Fourierreihe folgende Form an:

f ( t ) = p 0 sin ( φ 0 ) + p 1 sin ( ω 1 t + φ 1 ) + p 2 sin ( ω 2 + φ 2 ) + .

Die p / φ - Darstellung der Fouriersynthese führt auf folgende Spektrentypen:

Leistungsspektrum p k 2 = a k 2 + b k 2

Amplitudenspektrum p k = a k 2 + b k 2

Phasenspektrum φ k = arctan ( a k / b k )

Abklingende harmonische Schwingungen

Für die Praxis der Spektroskopie ist wichtig, dass die Fläche unter einer Spektrallinie des Amplitudenspektrums einer abklingenden harmonischen Schwingung theoretisch unendlich ist. Dies ist bei genauen Bestimmungen der Intensität der Spektrallinie durch Flächenberechnung zu beachten. Im Leistungsspektrum liegt dagegen die Lorentzlinienform vor, deren Integral endlich ist.

Seite 3 von 3>