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Fouriertransformation

Der Begriff Fouriertransformation

Hinweis
In der Literatur herrscht keine Bindestrich-Einheitlichkeit, geschrieben wird sowohl Fouriertransformation als auch Fourier-Transformation. Entsprechendes gilt für die Kombination mit Analyse, Folge, Koeffizienten, Reihe, Synthese und weitere. Hierzu lässt sich eigentlich nur der Alte und Neue Duden zitieren (R 135 bzw. R 95):
Hauptregel: „Bildet ein Familien- oder Personenname (ohne Vornamen) zusammen mit einem Substantiv eine geläufige Bezeichnung, so schreibt man zusammen. Beispiele: Bachkantate, Kneippkur, Röntgenstrahlen”
Nebenregel: „Einen Bindestrich kann man setzen, wenn der Name hervorgehoben werden soll. ”
Sicherlich ist der Begriff „Fouriertransformation” geläufig wie die Röntgenstrahlen, diese Schreibweise sollte also vorrangig sein.

Reelle Fouriersynthese und Fourieranalyse

Die reelle Fouriersynthese mit den Fourierkoeffizienten a k und b k (= Zahlenfolge, notiert in geschweiften Klammern)

a k , b k f ( t ) = a 0 2 + k = 1 a k cos 2 π k t T + b k sin 2 π k t T = f ( t ± T )

erzeugt eine periodische Funktion mit der Periodenlänge T (bezeichnet auch als T -periodische Funktion). Die Summe rechts ist eine Reihe, weswegen Fourierreihe ein Synonym für Fouriersynthese ist.

Umgekehrt erzeugt die reelle Fourieranalyse einer T -periodischen Funktion

f ( t ) = f ( t ± T ) a k , b k mit a k = 2 T 0 T f ( t ) cos 2 π k t T d t , b k = 2 T 0 T f ( t ) sin 2 π k t T d t k 0

soweit die Integrale lösbar sind, eine Folge von Fourierkoeffizienten, die als Spektrum von f ( t ) bezeichnet wird.

Erkennbar ist, dass die Schrittfolge Synthese Analyse Synthese zum Anfang zurückführt. Deswegen vereinigt man beide Richtungspfeile zu einem Doppelpfeil ( oder ) und symbolisiert Analyse und Synthese kurz durch

f ( t ) a k , b k gültig im Intervall 0 , T

Es ist üblich, diese wechselseitige Überführbarkeit von Funktion zum Spektrum und umgekehrt mit Fouriertransformation zu benennen (weltweite Abkürzung FT). Der Ursprung dieser Begriffsbildung liegt bei der Fourieranalyse von Funktionen mit unendlicher Periodenlänge (Theorie der Fouriertransformation). Eine FT im Sinne der Analyse oder Synthese unterscheidet man durch den Zusatz „inverse” oder „Hin” und „Rück”:

FT (Hin-FT) f ( t ) a k , b k Fourieranalyse Inverse FT (Rück-FT) a k , b k f ( t ) Fouriersynthese

Die Zuordnung von „invers” wird nicht einheitlich gehandhabt, ist jedoch gängig bei den praktischen Anwendungen der FT in Chemie und Physik. Ein FT-Spektrometer ist demgemäß eine Apparatur, bei der die Messfunktion durch die FT (also Analyse) in das gesuchte Spektrum umgerechnet wird.

Problematik bei aperiodischen Funktionen

Die Anwendungen der Fouriertransformation in Wissenschaft und Technik sind enorm vielfältig. In allen Fällen lässt sich für eine von 0 bis T bekannte Zeitfunktion per FT ein Spektrum mit der Schrittweite 1 / T berechnen. Offen ist allerdings die Frage, inwieweit das berechnete mit dem tatsächlichen Spektrum übereinstimmt.

Fall I: Periodizität

Für die bekannte Funktion gilt f ( t ) = f ( t ± T ) . Mit dem berechneten Spektrum a k , b k synthetisieren wir die periodische Zeitfunktion h ( t ± T ) . Zwangsläufig gilt h ( t ± T ) = f ( t ± T ) , also gilt für alle Zeiten

f ( t ) a k , b k t - , + .

Fall II: Aperiodizität

Eine Zeitfunktion sei bekannt von 0 bis T , aber nicht unbedingt periodisch. Diese Situation ist prototypisch für FT-Spektrometer der instrumentellen chemischen Analytik, bei denen das gemessene Signal s ( t ) zwangsläufig nur innerhalb eines gewissen Zeitintervalls bekannt ist. Mit seinem berechneten Spektrum synthesieren wir die periodische Zeitfunktion h ( t ± T ) . Sie stimmt im gegebenen Intervall mit s ( t ) völlig überein. Für Zeiten außerhalb des Intervalls ist allerdings keine Aussage möglich, da hier s ( t ) unbekannt ist. Im Allgemeinen gilt also

s ( t ) a k , b k t 0 , T .

Die praktischen Konsequenzen dieser Eigenart der FT werden im Kapitel Problematik bei aperiodischen Messfunktionen behandelt.

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