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Reelle Fourieranalyse

Spektrum einer abfallenden sin- und cos- Funktion

Das Spektrum einer abklingenden harmonischen Funktion ist von grundlegender Bedeutung bei den Anwendungen der Fourieranalyse in der Spektroskopie (z. B. NMR-, ESR-, IR- und ICR-Fourierspektrometer). Wir betrachten zunächst die Fourierkoeffizienten der $sin$ -Funktion, die im Kapitel asymmetrische periodische Funktionen diskutiert wird.

Abb.1: Zeitdiagramm für $l = 200$ und Abfall auf 1 %

Asymmetrische Zeitfunktion $f (t) = sin (2 π l t / T) \cdot e^{- β t} = f (t \pm T)$ $T = 1.000 ms = 1.000 \cdot Δ t$ $β = 4,6052 s^{-1}$ Dämpfungsfaktor

Die Fourieranalyse wird hier nicht explizit durchgeführt, da die Spektren abklingender harmonischer Funktionen mit Hilfe der Komplexen Fourieranalyse einfacher berechnet werden können. Das allgemeine Ergebnis ist in (Abb. 2) - (Abb. 4) grafisch dargestellt. Es zeigt sich, dass zwei Fälle zu unterscheiden sind, Lorentzlinienspektren und Frequenzfaltung.

Abb.2: Kosinusspektrum $a_{k}$ (Dispersionskurve), Funktionstyp: $D (x) = const \cdot x / (1 + x^{2})$

Abb.3: Sinusspektrum $b_{k}$ (Lorentzkurve), Funktionstyp: $L (x) = const \cdot 1 / (1 + x^{2})$

Abb.4: Amplitudenspektrum $p_{k} = + {(a_{k}^{2} + b_{k}^{2})}^{1 / 2}$

Es wird gezeigt:

Für $l = 200$ besitzt die exponentiell abfallende $sin$ - Schwingung das typische Spektralprofil der Dispersionskurve $D (k)$ (ungerade bezüglich $l$ ) bzw. der Lorentzkurve $L (k)$ (gerade bezüglich $l$ ).
Für $l = 12$ treten asymmetrische Linienformen auf. Hier werden die weiten Ausläufer der Dispersionskurve, die bei negativen $k$ - Werten liegen würden, in die positive $k$ - Achse „zurückgefaltet” und addiert (siehe unterste Abbildung: die gestrichelte Kurve entspricht dem Amplitudenprofil bei großen $l$ -Werten). Dieser Effekt wird im Beispiel Frequenzfaltung im Kapitel Komplexe Fourieranalyse näher erklärt.
Das Amplitudenspektrum ist erheblich verbreitert gegenüber der Lorentzkurve (bei $l = 200$ gestrichelt unterlegt). Der Nutzen dieses Spektrentyps ist im Kapitel Amplitudenspektren diskutiert.

Lorentzlinien-Spektren von $sin$ -Funktionen

Kosinus- und Sinusspektrum

\begin{array}{rcl} a_{k} & = \frac{2}{β T} \frac{-2 π Δ k / β T}{1 + {(2 π Δ k / β T)}^{2}} (1 - e^{- β T}) & Dispersionskurve \\ Δ k = k - l \\ b_{k} & = \frac{2}{β T} \frac{1}{1 + {(2 π Δ k / β T)}^{2}} (1 - e^{- β T}) & Absorptionskurve \end{array}

Graphische Darstellung von $a_{k}$ und $b_{k}$

In den Abbildungen (Abb. 5) , (Abb. 6) und (Abb. 7) sind links die Koeffizientenwerte als Strichlängen gezeichnet (Strichspektrum). In den rechten Diagrammen sind die Endpunkte der Striche verbunden. Das Sinusspektrum zeigt die typische Form einer Absorptionslinie der Spektroskopie. Die Linienform des Kosinusspektrums wird auch als Dispersionskurve bezeichnet. Sie läuft im Spektrum sehr viel weiter aus als die Absorptionskurve. Diese Eigenschaft überträgt sie auf das unten gezeigte Amplitudenspektrum, das durch den Betrag der Wurzel $(a_{k}^{2} + b_{k}^{2})^{1 / 2}$ definiert ist.

Abb.5: Kosinus-Spektrum - Strichdiagramm (links) und Kosinus-Spektrum - Liniendiagramm (rechts)

Abb.6: Sinus-Spektrum - Strichdiagramm (links) und Sinus-Spektrum - Liniendiagramm (rechts)

Abb.7: Amplituden-Spektrum - Strichdiagramm (links) und Amplituden-Spektrum - Liniendiagramm (rechts)

Die glockenförmige Absorptionskurve hat hier die Form einer Lorentzkurve $L (x) = 1 / (1 + x^{2})$ . Diese besitzt auf halber Höhe eine Breite von $π β$ (Halbwertsbreite). Die Dispersionskurve ist vom Typ $D (x) = x / (1 + x^{2})$ . Die Quadratsumme $L (x)^{2} + D (x)^{2}$ hat ebenso Lorentzform, im Unterschied zur Wurzel dieser Quadratsumme.