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Reelle Fourieranalyse

Reelle Fourieranalyse Beispiel 3: Abklingende Exponentialfunktion

Abb.1
Abklingende Exponentialfunktion

f ( x ) = e - β x ; β reell > 0 (gestrichelt: β = 5.0 ; fett: β = 0.5 )

Standardintegrale

cos k x e - β x d x = e - β x β 2 + k 2 - β cos k x + k sin k x + C
sin k x e - β x d x = e - β x β 2 + k 2 - β sin k x - k cos k x + C

Berechnung der Kosinuskoeffizienten

a k = 1 π 0 2 π cos k x e - β x d x = 1 π e - β x β 2 + k 2 - β cos k x + k sin k x 0 2 π = 1 π 1 β 2 + k 2 - β cos 2 k π + k sin 2 k π e - β 2 π - - β cos 0 + k sin 0 e 0 = 1 π 1 β 2 + k 2 - β 1 + 0 e - β 2 π - - β 1 + 0 e 0 = 1 π β β 2 + k 2 1 - e - β 2 π

Berechnung der Sinuskoeffizienten

b k = 1 π 0 2 π sin k x e - β x d x = 1 π e - β x β 2 + k 2 - β sin k x - k cos k x 0 2 π = 1 π 1 β 2 + k 2 - β sin 2 k π - k cos 2 k π e - β 2 π - - β sin 0 - k cos 0 e 0 = 1 π 1 β 2 + k 2 - β 0 - k 1 e - β 2 π - - β 0 - k 1 e 0 = 1 π k β 2 + k 2 1 - e - β 2 π

Resultat

a k = 1 π β 1 1 + k / β 2 1 - e - β 2 π b k = 1 π β k / β 1 + k / β 2 1 - e - β 2 π

Der Ausdruck in Klammern berücksichtigt, dass die Exponentialfunktion für x = 2 π , also nach einer Periode, je nach Dämpfungsparameter β mehr oder weniger stark abgeklungen ist. Für β = 0.5 gilt f ( 2 π ) = e - π = 0.0432 , d. h. die Klammer hat den Wert 0.9568 .

Die Kosinuskoeffizienten zeigen die Form der halben Lorentzkurve L ( k ) für positive k -Werte, die Sinuskoeffizienten entsprechend jene der negativen halben Dispersionskurve D ( k ) .

Abb.2
Graph L ( k ) und D ( k ) für β = 5.0 .

Die Werte der Fourierkoeffizienten sind linear verbunden (Liniendarstellung).

Beide Funktionen werden im Beispiel abklingende harmonische Funktion näher diskutiert.

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