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Reelle Fourieranalyse

Reelle Fourieranalyse Beispiel 2: Spektrum der Sägezahnfunktion

Als ein Beispiel für die explizite Durchführung einer Fourieranalyse bestimmen wir nachfolgend die Fourierkoeffizienten der periodischen Sägezahnfunktion.

Abb.1
Sägezahnfunktion

f ( x ) = f ( x + 2 π ) = ( π - x ) / π 0 x < 2 π

Kosinuskoeffizienten Der Sägezahn ist eine ungerade Funktion, es gilt f ( - x ) = - f ( x ) . Also sind alle Kosinuskoeffizienten gleich Null. Sinuskoeffizienten

b k = 1 π 0 2 π f ( x ) sin k x d x = 1 π 0 2 π ( π / π ) sin k x d x - 1 π π 2 π ( x / π ) sin k x d x

Der erste Summand in der Klammer ist gleich Null, da über volle Sinusperioden integriert wird. Für das zweite Integral ergibt sich mit der Substitution z = k x , partieller Integration und den neuen Intervallgrenzen [ 0 , k 2 π ]

b k = - 1 k π 0 2 k π z sin z d z = 1 k π z ( - cos z ) 0 2 k π - 0 2 k π ( - cos z ) d z  .

Der zweite Summand in der geschweiften Klammer ist gleich Null, da über volle Kosinusperioden integriert wird. Also gilt:

b k = - 1 k π -2 k π cos ( 2 k π ) + 0 cos 0 = 2 k π  .

Ergebnis der Fourieranalyse der Sägezahnfunktion

Kosinusspektrum a k = 0 k = 0 , 1 , 2 , 3 , alle k Sinusspektrum b k = 2 / ( k π ) k = 1 , 2 , 3 , 4 , alle k 0
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