zum Directory-modus

Reelle Fourieranalyse

Reelle Fourieranalyse Beispiel 1: Spektrum der Rechteckfunktion

Als ein Beispiel für die explizite Durchführung einer Fourieranalyse bestimmen wir nachfolgend die Fourierkoeffizienten der periodischen Rechteckfunktion (auch Sprungfunktion genannt). Sie beginnt bei 0 mit dem Wert 1 und springt in der Intervallmitte auf den Wert -1 .

Abb.1
Rechteckfunktion

f ( x ) = +1 0 x < π -1 π x < 2 π

Sie ist eine ungerade Funktion, es gilt f ( - x ) = - f ( x ) . Also sind alle Kosinuskoeffizienten gleich Null. Dies wollen wir durch Rechnung bestätigen und wenden beide Berechnungsvorschriften der reellen Fourieranalyse an.

Kosinuskoeffizienten

a k = 1 π 0 2 π f ( x ) cos k x d x = 1 π 0 π ( +1 ) cos k x d x + π 2 π ( -1 ) cos k x d x

Für alle k sind die Integrale für beide Halbintervalle [ 0 , π ] und [ π , 2 π ] gleich Null, da sich die Flächen unter den cos -Funktionen für k aufheben. Dies ist nachfolgend exemplarisch für die Fälle k = 2 und k = 3 graphisch verdeutlicht. Die Umkehr des Vorzeichens im zweiten Teilintervall entsteht wegen der Multiplikation mit dem Funktionswert -1 .

Abb.2
Abb.3

Sinuskoeffizienten

b k = 1 π 0 2 π f ( x ) sin k x d x = 1 π 0 π ( +1 ) sin k x d x + π 2 π ( -1 ) sin k x d x

Bei den Sinuskoeffizienten sieht das Bild anders aus. Zwar sind die Flächensummen in den Teilintervallen gleich Null wie bei den cos-Koeffizienten für alle geraden Werte von k , nicht aber für die ungeraden Werte. Dies ist nachfolgend exemplarisch für die Fälle k = 2 und k = 3 graphisch verdeutlicht. Die Umkehr des Vorzeichens im zweiten Teilintervall entsteht wegen der Multiplikation mit dem Funktionswert -1 .

Abb.4
Abb.5

Die sin -Koeffizienten müssen also explizit berechnet werden. Mit der Substitution z = k x ergibt sich für das Integral in den neuen Intervallgrenzen [ 0 , k π ] und [ k π , k 2 π ]

b k = 1 k π 0 k π sin z d z - k π 2 k π sin z d z = 1 k π cos z 0 k π - ( - cos z ) k π 2 k π  .

Für k = 0 ist z gemäß seiner Definition gleich Null, somit auch die sin -Funktion. Also ist b 0 gleich Null.

Für k 0 erhalten wir:

b k = 1 k π - ( cos k π -1 ) + ( 1 - cos k π ) = 2 k π 1 - cos k π = 0 k = 2 , 4 , 6 , 4 / k π k = 1 , 3 , 5 ,

Ergebnis der Fourieranalyse der Rechteckfunktion:

Kosinusspektrum a k = 0 k = 0 , 1 , 2 , 3 , alle k Sinusspektrum b k = 0 k = 0 , 2 , 4 , 6 , gerade k b k = 4 / k π k = 1 , 3 , 5 , 7 , ungerade k
Seite 2 von 5