Reelle Fourieranalyse
Reelle Fourieranalyse Beispiel 1: Spektrum der Rechteckfunktion
Als ein Beispiel für die explizite Durchführung einer Fourieranalyse bestimmen wir nachfolgend die Fourierkoeffizienten der periodischen Rechteckfunktion (auch Sprungfunktion genannt). Sie beginnt bei mit dem Wert und springt in der Intervallmitte auf den Wert .
Sie ist eine ungerade Funktion, es gilt . Also sind alle Kosinuskoeffizienten gleich Null. Dies wollen wir durch Rechnung bestätigen und wenden beide Berechnungsvorschriften der reellen Fourieranalyse an.
Kosinuskoeffizienten
Für alle sind die Integrale für beide Halbintervalle und gleich Null, da sich die Flächen unter den -Funktionen für aufheben. Dies ist nachfolgend exemplarisch für die Fälle und graphisch verdeutlicht. Die Umkehr des Vorzeichens im zweiten Teilintervall entsteht wegen der Multiplikation mit dem Funktionswert .
Sinuskoeffizienten
Bei den Sinuskoeffizienten sieht das Bild anders aus. Zwar sind die Flächensummen in den Teilintervallen gleich Null wie bei den cos-Koeffizienten für alle geraden Werte von , nicht aber für die ungeraden Werte. Dies ist nachfolgend exemplarisch für die Fälle und graphisch verdeutlicht. Die Umkehr des Vorzeichens im zweiten Teilintervall entsteht wegen der Multiplikation mit dem Funktionswert .
Die -Koeffizienten müssen also explizit berechnet werden. Mit der Substitution ergibt sich für das Integral in den neuen Intervallgrenzen und
Für ist gemäß seiner Definition gleich Null, somit auch die -Funktion. Also ist gleich Null.
Für erhalten wir:
Ergebnis der Fourieranalyse der Rechteckfunktion: