Reelle Fourieranalyse Beispiel 1: Spektrum der Rechteckfunktion

Als ein Beispiel für die explizite Durchführung einer Fourieranalyse bestimmen wir nachfolgend die Fourierkoeffizienten der periodischen Rechteckfunktion (auch Sprungfunktion genannt). Sie beginnt bei $0$ mit dem Wert $1$ und springt in der Intervallmitte auf den Wert $-1$.

Sie ist eine ungerade Funktion, es gilt $\mathit{f}(-\mathit{x})=-\mathit{f}(\mathit{x})$. Also sind alle Kosinuskoeffizienten gleich Null. Dies wollen wir durch Rechnung bestätigen und wenden beide Berechnungsvorschriften der reellen Fourieranalyse an.

Kosinuskoeffizienten

$${\mathit{a}}_{\mathit{k}}=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathit{f}(\mathit{x})cos\mathit{k}\mathit{x}\text{d}\mathit{x}=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(\mathrm{+1})cos\mathit{k}\mathit{x}\text{d}\mathit{x}+\underset{\pi }{\overset{2\pi }{\int }}(-1)cos\mathit{k}\mathit{x}\text{d}\mathit{x}$$

Für alle $\mathit{k}$ sind die Integrale für beide Halbintervalle $[0,\pi ]$ und $[\pi ,2\pi ]$ gleich Null, da sich die Flächen unter den $cos$-Funktionen für $\mathit{k}$ aufheben. Dies ist nachfolgend exemplarisch für die Fälle $\mathit{k}=2$ und $\mathit{k}=3$ graphisch verdeutlicht. Die Umkehr des Vorzeichens im zweiten Teilintervall entsteht wegen der Multiplikation mit dem Funktionswert $-1$.

Sinuskoeffizienten

$${\mathit{b}}_{\mathit{k}}=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathit{f}(\mathit{x})sin\mathit{k}\mathit{x}\text{d}\mathit{x}=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(\mathrm{+1})sin\mathit{k}\mathit{x}\text{d}\mathit{x}+\underset{\pi }{\overset{2\pi }{\int }}(-1)sin\mathit{k}\mathit{x}\text{d}\mathit{x}$$

Bei den Sinuskoeffizienten sieht das Bild anders aus. Zwar sind die Flächensummen in den Teilintervallen gleich Null wie bei den cos-Koeffizienten für alle geraden Werte von $\mathit{k}$, nicht aber für die ungeraden Werte. Dies ist nachfolgend exemplarisch für die Fälle $\mathit{k}=2$ und $\mathit{k}=3$ graphisch verdeutlicht. Die Umkehr des Vorzeichens im zweiten Teilintervall entsteht wegen der Multiplikation mit dem Funktionswert $-1$.

Die $sin$-Koeffizienten müssen also explizit berechnet werden. Mit der Substitution $\mathit{z}=\mathit{k}\mathit{x}$ ergibt sich für das Integral in den neuen Intervallgrenzen $[0,\mathit{k}\pi ]$ und $[\mathit{k}\pi ,\mathit{k}2\pi ]$

$${\mathit{b}}_{\mathit{k}}=\frac{1}{\mathit{k}\pi }\left\{\underset{0}{\overset{\mathit{k}\pi }{\int }}sin\mathit{z}\text{d}\mathit{z}-\underset{\mathit{k}\pi }{\overset{2\mathit{k}\pi }{\int }}sin\mathit{z}\text{d}\mathit{z}\right\}=\frac{1}{\mathit{k}\pi }\left\{{\left. cos\mathit{z}\right|}_0^{\mathit{k}\pi }{\left. -(-cos\mathit{z})\right|}_{\mathit{k}\pi }^{2\mathit{k}\pi }\right\}\text{ .}$$

Für $\mathit{k}=0$ ist $\mathit{z}$ gemäß seiner Definition gleich Null, somit auch die $sin$-Funktion. Also ist ${\mathit{b}}_0$ gleich Null.

Für $\mathit{k}\ne 0$ erhalten wir:

$${\mathit{b}}_{\mathit{k}}=\frac{1}{\mathit{k}\pi }\left\{-(cos\mathit{k}\pi -1)+(1-cos\mathit{k}\pi )\right\}=\frac{2}{\mathit{k}\pi }\left\{1-cos\mathit{k}\pi \right\}=\left\{\begin{array}{rc}0& \mathit{k}=2,4,6,\dots \\ 4/\mathit{k}\pi & \mathit{k}=1,3,5,\dots \end{array}\right.$$

Ergebnis der Fourieranalyse der Rechteckfunktion:

$$\begin{array}{lll}\text{Kosinusspektrum}& {\mathit{a}}_{\mathit{k}}=0& \mathit{k}=0,1,2,3,\dots \text{alle k}\\ \text{Sinusspektrum}& {\mathit{b}}_{\mathit{k}}=0& \mathit{k}=0,2,4,6,\dots \text{gerade k}\\ & {\mathit{b}}_{\mathit{k}}=4/\mathit{k}\pi & \mathit{k}=1,3,5,7,\dots \text{ungerade k}\end{array}$$