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Reelle Fourieranalyse

Reelle Fourieranalyse - Periodische Funktionen

Gegeben sei eine periodische Funktion f ( t ) . Dieses Kapitel beantwortet die Frage, wie ihre Fourierkoeffizienten ermittelt werden können. Dieser Prozess wird als Fourieranalyse bezeichnet. Es leuchtet ein, dass er aufwendiger ist als die Fouriersynthese. In der Chemie ist es ähnlich. Eine Mischung von Stoffen herzustellen ist ungleich leichter als herauszufinden, welche Stoffe mit welchem Anteil in einer gegebenen Mischung enthalten sind.

Orthogonalität der Winkelfunktionen

Wir betrachten zunächst die Winkelfunktionen in der Form cos k x und sin k x . Für k = 0 , 1 , 2 , 3 , sind sie periodisch im Intervall 2 π . Grundlage der Fourieranalyse sind die folgenden Integraleigenschaften, die als Orthogonalität der Winkelfunktionen bezeichnet werden.

k , l = 0 , 1 , 2 , 3 ,
0 2 π cos k x cos l x d x = 2 π k = l = 0 π k = l > 0 0 k l 0 2 π sin k x sin l x d x = 0 k = l = 0 π k = l > 0 0 k l 0 2 π sin k x cos l x d x = 0 alle k , l

Reelle Fourieranalyse einer periodischen Funktion f ( x ) = f ( x ± 2 π )

Wir gehen aus von der Fouriersynthese in der Form

f ( x ) = 1 2 a 0 + a 1 cos 1 x + a 2 cos 2 x + a 3 cos 3 x + + b 1 sin 1 x + b 2 sin 2 x + b 3 sin 3 x +

Um z.B. den Koeffizienten a 3 zu bestimmen, multiplizieren wir f ( x ) mit cos 3 x und integrieren über das Intervall 2 π . Das Integral über die Fouriersumme ist gleich der Summe der Integrale der einzelnen Terme. Gemäß der Orthogonalität der Winkelfunktionen sind alle Integrale null bis auf jenes mit dem Integranden a 3 cos 3 x cos 3 x . Multiplikation von f ( x ) mit cos 0 x selektiert entsprechend den ersten Summanden der Fourierreihe. Das Ergebnis lautet für diese zwei Fälle:

0 2 π f ( x ) cos 3 x d x = a 3 π 0 2 π f ( x ) cos 0 x d x = ( 1 2 a 0 ) 2 π = a 0 π

Teilen wir beide Gleichungen durch π , so erhalten wir eine Formel, mit der die Kosinus-Koeffizienten für alle k -Werte berechnet werden können. Dies ist der Grund, warum in der reellen Fouriersynthese der erste Fourierkoeffizient als a 0 / 2 und nicht a 0 gewählt wurde. Entsprechendes gilt für alle Sinuskoeffizienten. Damit ist die Frage beantwortet, wie die Fourieranalyse durchzuführen ist. Folgende Integrale sind zu berechnen:

Reelle Fourieranalyse:

a k = 1 π 0 2 π f ( x ) cos k x d x b k = 1 π 0 2 π f ( x ) sin k x d x

Einige Ergebnisse der reellen Fourieranalyse

Abb.1
Rechteckfunktion

Kosinusspektrum:

a k = 0

Sinusspektrum:

b k = 4 ( k π ) k = 1 , 3 , 5 ,

Abb.2
Sägezahnfunktion

Kosinusspektrum:

a k = 0

Sinusspektrum:

b k = 2 ( k π ) k = 1 , 2 , 3 ,

Abb.3
Dreieckfunktion

Kosinusspektrum:

a k = 8 ( k π ) 2 k = 1 , 3 , 5 ,

Sinusspektrum:

b k = 0

Hinweis
Hinweise zur Animation Fouriersynthese 1. Die Fouriersumme wird mit den Winkelfunktionen in der Form cos ( k x ) und sin ( k x ) nur für die k -Werte von 1 bis 10 durchgeführt. Die Periodenlänge ist 2 π . 2. Die aktuellen Werte der Fourierkoeffizienten sind unten angegeben. Änderungen sind möglich mit den 20 Reglern in den Grenzen von -100 bis +100 (grob mit dem Schieber oder in Schritten von ± 1 mit den Pfeilen). 3. Der Koeffizient a 0 ist gleich Null bis auf den „Grätz-Sinus”. 4. Anklicken einer der Funktionen links zeigt die jeweilige synthetisierte Funktion für die bei den Reglern angegebenen Fourierkoeffizienten. Ändern Sie letztere mit den Reglern und beobachten Sie den Einfluss des jeweiligen Summenterms. 5. Für „Sägezahn”, „Rechteck” und „Dreieck” sind die Fourierkoeffizienten nach „Augenmaß” gewählt. Eine andere Möglichkeit ist, die theoretischen Werte der Reellen Fourieranalyse zu verwenden. Die Symmetrieeigenschaften der drei Funktionen werden bei den Hinweisen zur Animation diskutiert. Ihre mathematische Definition ist am Ende des Kapitels gegeben. 6. Die Funktion „Grätz-Sinus” ist ein Sonderfall. Hier findet die Summation mit den Absolutwerten der 20 Terme statt. Solche Zeitfunktionen zeigt ein Oszillograf am Ausgang der Brückenschaltung eines Wechselspannungsgleichrichters. Im nachfolgenden Schritt der RC-Filterung entsteht die gewünschte Gleichspannung.
Abb.4
Endliche Fouriersynthese
Hinweis
Weitere Hinweise (siehe auch sin - oder cos -Mischungen) 1. Für „Sinus” und „Kosinus” ist die Grundschwingung gezeigt, die Periodenlänge beträgt 2 π (zwei Skalenteile). 2. Die Funktionen „Sägezahn” und „Rechteck” sind ungerade, also gehen nur sin -Funktionen in die Synthese ein. 3. Die Funktion „Dreieck” ist gerade, also gehen nur cos -Funktionen in die Synthese ein.
Arbeitsauftrag

Synthetisieren Sie die Rechteckfunktion mit den ersten zehn Fourierkoeffizienten der Fourieranalyse (siehe obigen Hinweis). Skalieren Sie die Werte so, dass der Einstellungsbereich voll ausgenutzt wird, d.h. a 1 bzw. b 1 auf 100 und alle weiteren entsprechend.

Die Rechteckfunktion ist ungerade, also sind alle cos -Koeffizienten gleich Null. Die skalierten sin -Koeffizienten haben folgende Werte: 100, 0, 33, 0, 20, 0, 14, 11 und 0.

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Arbeitsauftrag

Synthetisieren Sie die Sägezahnfunktion mit den ersten zehn Fourierkoeffizienten der Fourieranalyse (siehe obige Tabelle). Skalieren Sie die Werte so, dass der Einstellungsbereich voll ausgenutzt wird, d.h. a 1 bzw. b 1 auf 100 und alle weiteren entsprechend.

Die Sägezahnfunktion ist ungerade, also sind alle cos - Koeffizienten gleich Null. Die skalierten sin - Koeffizienten haben folgende Werte: 100, 50, 33, 25, 20, 17, 14, 12, 11 und 10.

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Arbeitsauftrag

Synthetisieren Sie die Dreieckfunktion mit den ersten zehn Fourierkoeffizienten der Fourieranalyse (siehe obige Tabelle). Skalieren Sie die Werte so, dass der Einstellungsbereich voll ausgenutzt wird, d.h. a 1 bzw. b 1 auf 100 und alle weiteren entsprechend.

Die Dreieckfunktion ist gerade, also sind alle sin -Koeffizienten gleich Null. Die skalierten cos -Koeffizienten haben folgende Werte: 100, 0, 11, 0, 4, 0, 2, 1 und 0.

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Gibbs-Phänomen

Die Fourierreihe von Funktionen mit Sprungstellen oder Knickpunkten ist unendlich. Sind die beiden Integrale der Fourieranalyse lösbar, so lassen sich die Fourierkoeffizienten für k gegen Unendlich analytisch bestimmen. In der Praxis stellt sich hier die Frage, zu welchem Ergebnis eine Fouriersynthese mit diesen Koeffizienten führt, wenn die Rechnung ab einem bestimmten k - Wert beendet wird. (Abb. 5) zeigt das typische Resultat einer abgebrochenen unendlichen Fourierreihe am Beispiel der Fouriersynthese bis k = 10 für die oben behandelten Funktionen „Rechteck”, „Sägezahn” und „Dreieck”.

Abb.5
Abbruchseffekte einer unendlichen Fourierreihe für k 10 (Gibbs-Phänomen)

Das Fehlen der Fourierterme für k > 10 verursacht an den Sprungstellen harmonische Abweichungen von der wirklichen Funktion („Kantenoszillationen”), die als Gibbs-Phänomen bezeichnet werden. In der Nähe von Knickpunkten sind sie deutlich reduziert, der Knick selbst ist mehr oder weniger „rund” dargestellt. Die Kantenoszillationen lassen sich auf Kosten der Flankensteilheit unterdrücken durch Herabsetzung der Fourierkoeffizienten im Bereich bis k 10 (Abb. 6) .

Abb.6
Eliminierung des Gibbs-Phänomens (rechts) auf Kosten der Flankensteilheit durch Verringerung der Fourierkoeffizienten der unendlichen Fourierreihe für k 10 (links).

Fourierkoeffizienten b k Links: 100 , 0 , 33 , 0 , 20 , 0 , 14 , 0 , 11 , 0 Rechts: 100 , 0 , 27 , 0 , 10 , 0 , 5 , 0 , 2 , 0

Die in (Abb. 6) gezeigte Reduktion des Gibbs-Phänomens hat praktische Bedeutung z.B. in der Hochfrequenzelektronik. Kommerzielle Funktionsgeneratoren erzeugen periodische Rechteckfunktionen mit einer Periodenlänge von 10 -7 s (Wiederholrate von 10 7 Hz ) typischerweise im Bereich ± 0,5 V . Für eine nachfolgende Vergrößerung des Spannungsbereichs auf ± 20 V ist ein Hf-Verstärker erforderlich. Beträgt seine Bandbreite 10 8 Hz , so entsteht die in (Abb. 6) links gezeigte Rechteckfunktion. Um die Kantenoszillationen zu vermeiden, muss der Verstärkungsfaktor des Geräts bei den Oberschwingungen 2 × 10 7 , 3 × 10 7 , und 10 8 Hz entsprechend der in (Abb. 6) gegebenen Fourierkoeffizienten abnehmen.

Reelle Fourieranalyse einer periodischen Funktion f ( t ) = f ( t ± T )

Wir gehen aus von der Fouriersynthese in der Form

f ( t ) = a 0 / 2 + a 1 cos ( 1 2 π t / T ) + a 2 cos ( 2 2 π t / T ) + + b 1 sin ( 1 2 π t / T ) + b 2 sin ( 2 2 π t / T ) +

Die entsprechenden Gleichungen der Fourieranalyse erhalten wir aus den obigen Formeln für a k und b k in der x - Notierung durch Resubstitution von x = 2 π t / T :

Reelle Fourieranalyse:

a k = 2 T 0 T f ( t ) cos ( k 2 π t / T ) d t b k = 2 T 0 T f ( t ) sin ( k 2 π t / T ) d t

Das Spektrum einer abklingenden sin - oder cos - Funktion ist von grundlegender Bedeutung in der chemischen Spektralanalytik. Je schneller der Abfall ist, umso breiter werden die Spektrallinien. Weiteres finden Sie im Kapitel Komplexe Fourieranalyse unter Abklingende periodische Schwingung.

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