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Reelle Fouriersynthese

Reelle Fourierreihe - Dreieckskurve - Berechnung der Koeffizienten

Wir betrachten die Funktion

f ( t ) = - t für -1 t < 0 t für 0 t < 1

außerhalb des Intervalls [ -1 , +1 ) , für das sie hier nur definiert wurde, 2-periodisch fortgesetzt. Wir nennen sie auch die Dreieckskurve. Offenbar ist f gerade, so dass wir statt (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) die einfacheren Formeln (siehe ebenfalls Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) verwenden können. Da τ gleich 1 ist, erhalten wir

a n = 2 0 1 cos ( n π t ) t d t = 2 cos ( n π t ) n 2 π 2 + t sin ( n π t ) n π 0 1 = 2 cos ( n π ) n 2 π 2 + sin ( n π ) n π - 1 ( n π ) 2 - 0

Für das zweite Gleichheitszeichen haben wir die Integraltabelle benutzt. Die Rechnung gilt nur für positive n , so dass wir a 0 später noch gesondert berechnen müssen. Da sin ( n π ) gleich 0 und cos ( n π ) gleich 1 oder -1 ist, je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist, erhalten wir

a n = 2 1 n 2 π 2 - 1 n 2 π 2 = 0 für gerade n

und

a n = 2 - 1 n 2 π 2 - 1 n 2 π 2 = - 4 n 2 π 2 für ungerade n

Der Koeffizient a 0 errechnet sich nach (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) zu

a 0 = 2 0 1 t d t = 2 t 2 2 0 1 = 1.

Nach (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) ist

b n = 0

für alle n . Bedenken wir noch, dass n alle ungeraden positiven ganzen Zahlen durchläuft, wenn wir n = ( 2 k +1 ) setzen und k alle Zahlen aus 0 durchlaufen lassen, so können wir die Fourierreihe von f offenbar schreiben als

1 2 - 4 π 2 k = 0 1 ( 2 k + 1 ) 2 cos ( ( 2 k + 1 ) π t ) .

Anschaulicher ist vielleicht die folgende Darstellung der Fourierreihe, in der die ersten Glieder ausgeschrieben und die restlichen durch Punkte angedeutet sind:

1 2 - 4 π 2 cos ( π t ) + 1 9 cos ( 3 π t ) + 1 25 cos ( 5 π t ) + 1 49 cos ( 7 π t ) + .

Graphische Darstellung

Funktion

Abb.1
Funktion
f ( t ) = - t für - 1 t < 0 t für 0 t < 1 , 2-periodisch fortgesetzt

Fourierreihe

Abb.2
Funktion
a 0 = 1 , a n = - 4 n 2 π 2 für ungerade n > 0 0 für gerade n > 0 , b n = 0
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