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Reelle Fouriersynthese

Fouriersynthese asymmetrischer Zeitsignale - Spektralanalytik

Die Spektrenanalyse in der instrumentellen chemischen Analytik ist eine Grundaufgabe in der Chemie. Die einzelnen Spektralsignale haben typischerweise eine glockenförmige Gestalt. Wir unternehmen deswegen eine sin- und cos-Synthese eines solchen Signals, indem wir bei einer gegebenen Frequenz ν m = m Δ ν den glockenförmigen Verlauf schrittweise in Einheiten einer konstanten kleinsten Frequenzeinheit Δ ν symmetrisch um ν m modellieren. (Abb. 1) zeigt die sich nach Vorgabe der Frequenzdomäne (links) ergebenden sin- bzw. cos-Summensignale (Mitte bzw. rechts). Die Größe der Frequenzeinheit Δ ν ist im untersten Spektrum in (Abb. 1) erkennbar.

Abb.1
Spektralanalytik

Mischung glockenförmig verteilter sin- und cos-Funktionen (Mitte bzw. rechts) mit gleicher Amplitudenverteilung. Erkennbar ist, dass alle Zeitfunktionen periodisch in der Zeit T sind, die gleich dem Kehrwert der kleinsten Frequenzdifferenz in der untersten Reihe links ist.

Deutlich ist zunächst, dass die Fouriersummen in jedem der sechs Fälle periodisch in T = 1 / Δ ν und bezüglich t = 0 im sin-Teil ungerade (antisymmetrisch) bzw. im cos-Teil gerade (symmetrisch) sind. Schauen wir genauer hin, so erkennen wir kürzere Periodenlängen, die genau im umgekehrten Verhältnis zum kleinsten Linienabstand im jeweiligen Spektrum stehen. Er beträgt z.B. im dritten Fall von unten genau 4 Δ ν , d.h. es treten 4 Perioden der Länge T / 4 auf. Weiterhin ist ganz unten zu erkennen, dass bei nahezu glockenförmiger Verteilung der Amplituden das Summensignal in der Mitte gegen null geht, am Ende der Periode T aber immer wieder zu voller Höhe ansteigt.

Typische Spektrometer der Chemie, bekannt als Fourierspektrometer, liefern als primäres Messsignal Zeitfunktionen f ( t ) , die zwar periodisch in T sein können, zum Ende der Periode aber bei null bleiben. Sie werden als asymmetrisch bezeichnet, da weder f ( - t ) = f ( t ) noch f ( - t ) = - f ( t ) gilt. Ein solches Signal ist im obersten Diagramm der (Abb. 2) gezeigt.

Abb.2
Asymmetrisch Zeitfunktionen f (t)

Typisches asymmetrisches Messsignal (oben) und seine Zerlegung in eine gerade (Mitte) und ungerade Zeitfunktion (unten).

Das zum Intervallende t = 0,5 abklingende oszillatorische Signal in der obigen Abbildung lässt sich mathematisch darstellen in der Form:

f ( t ) = I sin ( 2 π ν t ) e - β t , t 0 .

Die Konstanten I und β bestimmen die Intensität bzw. die Schnelligkeit des Abfalls des Signals. Die Frequenz ν ist der Kehrwert des Abstandes zwischen zwei benachbarten Maxima der abklingenden Sinusschwingung.

Asymmetrische Signale als Summe einer geraden und ungeraden Funktion

Es stellt sich die Frage, wie ein asymmetrisches Signal durch Fouriersynthese erhalten werden kann. Hier hilft ein mathematischer Trick. Wir addieren zu 2 1 2 f ( t ) einfach eine Null und zwar in der Form 1 2 f ( - t ) - 1 2 f ( - t ) und sortieren die resultierenden vier Summanden zur Summe einer geraden und ungeraden Funktion, g ( t ) und u ( t ) , um:

f ( t ) = 1 2 f ( t ) + 1 2 f ( t ) + 1 2 f ( - t ) - 1 2 f ( - t ) = 1 2 [ f ( t ) + f ( - t ) ] + 1 2 [ f ( t ) - f ( - t ) ] = g ( t ) + u ( t )

mit

g ( - t ) = + g ( t ) gerade u ( - t ) = - u ( t ) ungerade

Durch Mischung von sin- und cos-Funktionen gleicher Frequenzen entstehen asymmetrische Funktionen f ( t ) = g ( t ) + u ( t ) . Die Summe der cos-Terme ergibt den geraden Summanden g ( t ) , die Summe der sin-Terme den ungeraden Summanden u ( t ) .

Im Fall der abklingenden Sinusfunktion ist in (Abb. 2) deutlich zu erkennen, dass der ungerade Anteil u ( t ) mit dem untersten Spektrum in (Abb. 1) qualitativ übereinstimmt. Also ist ihr Sinusspektrum eine glockenförmige Verteilung, die bei der Frequenz ν m zentriert ist. Über ihr Kosinusspektrum können wir allerdings noch keine Aussagen treffen, da die cos-Summen in (Abb. 1) ein gänzlich anderes Verhalten zeigen als g ( t ) . Hier muss eine Fourieranalyse durchgeführt werden.

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