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Reelle Fouriersynthese

Mischungen von sin- oder cos-Schwingungen

Wir betrachten als erstes die Mischung von fünf sin-Schwingungen, die sich in Amplitude und Frequenz unterscheiden. Der Mischprozess, auch als Fouriersynthese bezeichnet, findet in der realen Welt der Töne im Mischpult eines Tonstudios oder im Audiomischprogramm eines Computers mit Soundkarte statt. Hören Sie sich das für alle fünf Einzeltöne und ihre Mischung nachfolgend an:

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Abb.1
Tonmischung

In der mathematischen Darstellungswelt addieren wir einfach die fünf sin-Funktionen mit gegebenen Koeffizienten. (Abb. 2) zeigt die übliche grafische Darstellung der Fouriersynthese der fünf Töne. Es bestehen zwei Möglichkeiten der Darstellung. Die Auftragung der Funktionswerte gegen die Zeit wird als Darstellung in der Zeitdomäne bezeichnet. Sie gibt den wirklichen Verlauf der Töne an, hat aber den Nachteil, dass in der Summenfunktion die einzelnen sin-Komponenten nicht mehr erkennbar sind. Die alternative Darstellung ( (Abb. 2) , rechts) wird als Frequenzdomäne bezeichnet. Hier ist die stillschweigende Verabredung, dass nur sin-Funktionen zugrunde liegen, weswegen die alternative Bezeichnung Sinusspektrum aussagekräftiger ist. Ihr Vorteil ist, dass Frequenz und Amplitude jeder beteiligten sin-Funktion unmittelbar erkennbar sind.

Abb.2
Fouriersynthese der fünf Töne

Graphische Darstellung der Mischung von fünf sin-Schwingungen verschiedener Frequenz und Amplitude. Die so genannte Zeitdomäne (links) zeigt die momentanen Funktionswerte aufgetragen gegen die Zeit t . Die Amplituden b k entsprechen dem halben Abstand zwischen den Maxima und Minima der sin-Funktion. In der Summenfunktion (unten) ist nicht erkennbar, wie viele Sinusfunktionen es sind und welche Frequenz und Amplitude sie besitzen. Die so genannte Frequenzdomäne (rechts) zeigt die Amplituden aufgetragen gegen die Frequenz. Ein solches Diagramm heißt Sinusspektrum, da alle zugrundeliegenden Zeitfunktionen vom Typ Sinus sind. Im Summenspektrum (unten) ist unmittelbar erkennbar, welche sin-Schwingungen vorliegen.

Symmetrie

Was wir bisher mit sin-Funktionen gemacht haben, geht natürlich auch mit cos-Funktionen. Zwei wichtige Unterschiede bestehen allerdings:

  • Bei t = 0 beginnen cos-Summensignale C ( t ) immer mit der Summenamplitude, dagegen sin-Summensignale S ( t ) mit Null.
  • Bezüglich t = 0 sind cos-Summensignale C ( t ) immer gerade, dagegen sin-Summensignale S ( t ) immer ungerade. Das Gleiche gilt wegen der Periodizität an jeder Periodengrenze n T . Die Kurzformulierung dafür zeigen die folgenden Gleichungen.
C ( - t ) = C ( t ) und C ( n T - t ) = C ( t + n T )
S ( - t ) = - S ( t ) und S ( n T - t ) = - S ( t + n T )

Harmonische Ortsfunktionen

Abb.3

Die obigen Ausführungen beschränken sich keineswegs auf Zeitfunktionen, die Schwingungen beschreiben. Das Bild der Brücke belegt dies deutlich. Allerdings schwingt die Brücke nicht. Damit wäre ja ihre Bewegung gemeint, die eine über sie im Gleichschritt laufende Menschengruppe anregt. Es ist der räumlich harmonische Verlauf der Oberfläche oder des Rands der Brücke, der in diesem Fall durch sin- und cos-Funktionen beschrieben wird. Entsprechend ersetzen eine Ortsvariable und Periodenortslänge die bisher verwendete Zeit und Periodenzeitlänge in den Sinus- und Kosinusargumenten. Solche Ortsfunktionen treten z.B. bei der Beschreibung von Wellen und in der IR-Interferometrie auf.

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