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Reelle Fouriersynthese

Tonmischungen

Musik ist jedem bekannt, Gesang mischt sich mit den Klängen von Musikinstrumenten. Das instrumentale Arsenal ist groß und umfasst Streich-, Blas-, Zupf-, Schlaginstrumente und andere mehr. Damit im Zusammenspiel ein harmonischer Wohlklang entsteht, sind alle beitragenden Tonquellen auf den Kammerton a ' eingestimmt.

Unter dem Kammerton a ' verstehen wir eine Schallschwingung, die mathematisch durch die periodische Funktion f ( t ) = f ( t + n T ) beschrieben werden kann. Die Periodenlänge T beträgt 1 / 440 s , n ist eine ganze Zahl. Geläufiger ist die alternative Charakterisierung: Die Zahl der Periodenwiederholungen pro Sekunde, als Frequenz bezeichnet, beträgt 440 s-1 oder kurz 440 Hertz, abgekürzt 440 Hz . Hören wir uns einige Tonquellen an, die den Kammerton a ' erzeugen:

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Abb.1
Tonquellen

Im Fall des reinen Sinustons gilt

f ( t ) = sin ( 2 π 440 Hz t )

Dieser Ton unterscheidet sich merklich vom Kammerton a ' der drei Blasinstrumente, obwohl die Tonhöhe in allen vier Fällen gleich ist. Was ist der Grund des hörbaren Unterschieds? Die Antwort ist einfach. Die Tonhöhe wird durch die Grundschwingung der Sinusfunktion von 440 Hz bestimmt. Zur Grundschwingung addieren sich Oberschwingungen sin ( k 2 π 440 Hz t ) mit k = 2 , 3 , (reine Sinustöne 880 Hz , 1320 Hz , ) , deren relative Anteile b k den charakteristischen Klang des Kammertons a ' der verschiedenen Instrumente bestimmen. Mathematisch sieht das so aus:

Kammerton a ' = b 1 sin ( 1 2 π 440 Hz t ) + b 2 sin ( 2 2 π 440 Hz t ) + b 3 sin ( 3 2 π 440 Hz t ) +

Die Sinuskoeffizienten b k , auch als Amplituden der Sinusschwingungen bezeichnet, sind konstant für einen Dauerton gleicher Schallstärke. In einem Musikstück mit mehreren Instrumenten ändern sich dagegen sowohl die Grundtöne als auch die Anteile der Obertöne mit der Zeit.

Wir wollen hier nicht die mathematische Beschreibung der Musik verfolgen, sondern uns mit den Prinzipien der Mischung von harmonischen Schwingungen vertraut machen, deren Amplituden b k von der Zeit unabhängig sind. Dies wird im Kapitel Mischungen von sin- und cos-Funktionen behandelt.

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