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Symmetrische Tensoren und das Energieellipsoid

Symmetrische Tensoren und das Energieellipsoid

Als ein konkretes Beispiel stellen wir die Frage, welche Energie notwendig ist, um ein Kristall in einem elektrischen Feld zu polarisieren. Hier ist der Wirkungsvektor w die Polarisation, der Ursachevektor u das elektrisches Feld und K m n der Tensor der Polarisierbarkeit. Bei einer Änderung d w in einem Feld u ist die notwendige Energie pro Volumeneinheit

d E = u d w = m = 1 3 u m d w m .

Die bestehende Relation zwischen w und u

w = K u

lässt sich in Differenzialform wie folgt ausdrücken (Die Tensorkoeffizienten K m n sind konstant):

d w = K d u oder d w m = n = 1 3 K m n d u n .

Es folgt

d E = u K d u = m = 1 3 n = 1 3 u m K m n d u n .

Die notwendige Energie pro Volumeneinheit E ist gleich dem Integral von u d w :

E = m = 1 3 n = 1 3 u m K m n d u n .

In Komponentenform:

E = { u x ( K x x d u x + K x y d u y + K x z d u z ) + u y ( K y x d u x + K y y d u y + K y z d u z ) + u z ( K z x d u x + K z y d u y + K z z d u z ) } .

Ausführung der Integrationen ergibt:

u x K x x d u x = 1 2 K x x u x 2 , u x K x y d u y = K x y u x u y , usw.

Wegen der Symmetrie des Polarisationstensors ( K m n = K n m ) lässt sich die Energiedichte folgendermaßen ausdrücken:

E = 1 2 m = 1 3 n = 1 3 K m n u m u n = 1 2 u K u .

Die Energiedichte ist ein Skalar und hat eine geometrische Interpretation. Die Felder u x , u y und u z , die einer vorgegebenen Energiedichte ( E konstant > 0 und endlich) entsprechen, liegen auf einem Ellipsoid. Die Form des Energieellipsoids oder Tensorellipsoids charakterisiert den Tensor der Polarisierbarkeit und ist unabhängig von dem gewählten Koordinatensystem (da E ein Skalar ist).

Anwendung des Tensorellipsoids zur Bestimmung des Wirkungsvektors w

Die Funktion

φ ( u x , u y , u z ) = 1 2 u K u = 1 2 m , n K m n u m u n m , n = x , y , z

ist eine skalare Funktion der drei Komponenten u x , u y , u z des Ursachevektors u . Der Gradient von φ wird nun bestimmt. Für die x -Komponente erhält man:

( grad φ ) x = 1 2 u x m , n K m n u m u n .

Verwendung der Kettenregel ergibt:

( grad φ ) x = 1 2 m , n K m n u m u x u n + u m u n u x = 1 2 m , n K m n δ m x u n + u m δ n x = 1 2 n K x n u n + m K m x u m .

Wegen der Symmetrie von K ( K m x = K x m ) ist

( grad φ ) x = 1 2 n K x n u n + m K x m u m = n K x n u n = w x .

Das Entsprechende gilt auch für die y - und z -Komponenten. Es folgt

grad φ = w bzw. w = grad φ .

Also ergibt sich folgendes:

Theorem
Der Wirkungsvektor w hat die Richtung der Normale auf dem Tensorellipsoid an der Stelle, wo es vom Ursachevektor u durchstoßen wird.
Abb.1
Tensorellipsoid

Hauptachsen

Das Energieellipsoid lässt sich durch die Angabe der Richtungen der drei Hauptachsen u ' x , u ' y und u ' z beschreiben. In diesem Koordinatensystem ist die Gleichung des Ellipsoids besonders einfach:

E = 1 2 m = 1 3 K ' m m u ' m 2 .

In dem Koordinatensystem der Hauptachsen hat der Tensor der Polarisierbarkeit nur drei Komponenten, die ungleich Null sind:

K ' = K ' x x 0 0 0 K ' y y 0 0 0 K ' z z .

Man sagt, der Tensor sei diagonal. Mit einem solchen Koordinatensystem bewirkt ein Ursachenvektor in Richtung einer Hauptachse einen Wirkungsvektor entlang derselben Achse:

w ' x = K ' x x u ' x , w ' y = K ' y y u ' y , w ' z = K ' z z u ' z .
Theorem
Jeder symmetrische Tensor zweiter Stufe lässt sich durch eine geeignete Koordinatentransformation auf eine diagonale Form bringen.

Zur Diagonalisierung eines symmetrischen Tensors K m n müssen die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix K bestimmt werden.

Wenn alle Tensorkoeffizienten in diagonaler Form gleich sind ( K ' x x = K ' y y = K ' z z = K ), ist der untersuchte Stoff isotrop

w = K u .

In diesem Fall ist das Energieellipsoid eine Kugel.

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