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Tensoren

Erweiterte Definition eines Tensors

Zunächst besprechen wir den Fall eines Vektors. Ein Vektor lässt sich auf zwei äquivalente Weisen darstellen:

  • geometrisch - als ein Pfeil von gegebener Richtung und Länge,
  • algebraisch - als Komponente einer Größe relativ zu einem Koordinatensystem.

Zum Beispiel stellen die kartesischen Koordinaten x , y eines Punktes eines Vektor dar. Bei Drehung des Koordinatensystems um den Winkel θ im Anti-Uhrzeigersinn wandeln sich die Komponenten des Vektors wie folgt um:

x ' y ' = cos θ sin θ - sin θ cos θ x y .

Jetzt betrachten wir die Größen V x ( x , y ) und V y ( x , y ) in dem x , y -Koordinatensystem. Bei Drehung des Koordinatensystems ergibt sich die Transformation:

V ' x V ' y = cos θ sin θ - sin θ cos θ V x V y .

Wir definieren V x ( x , y ) und V y ( x , y ) als Komponenten eines Vektors V . Jedem Punkt im 2D-Raum ordnen die Größen V x ( x , y ) und V y ( x , y ) eine Richtung und Länge zu, die unabhängig von dem gewählten Koordinatensystem sind.

Hinweis
Ein Vektor ist durch seine Komponenten bestimmt. Diese wiederum wandeln sich bei jeder Koordinatentransformation um.

Kompaktere Notation (ermöglicht eine Erweiterung auf höhere Dimensionen):

x ' 1 x ' 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 x 1 x 2

Dabei ist a i j der Kosinus der Winkel zwischen den x ' i und x j -Achsen, d.h. das Skalarprodukt von Einheitsvektoren

a i j = e ' i e j e ' i , e j Einheitsvektoren .

In n Dimensionen drückt man die Komponenten des Vektors so aus:

V ' i = j = 1 n a i j V j i = 1 , 2 , , n .

Die Koeffizienten a i j können auch anders gekennzeichnet werden:

a i j = x ' i x j .

In einem kartesischen Koordinatensystem gilt:

x ' i x j = x j x ' i .

Bei einer allgemeinen Koordinatentransformation ist dies nicht unbedingt der Fall. Die allgemeinste Definition eines Vektors oder Tensors 1. Stufe lautet daher

V ' i = j = 1 n x ' i x j V j kontravarianter Vektor, V ' i = j = 1 n x j x ' i V j kovarianter Vektor .

Dabei wird die Komponente eines kontravarianten Vektors durch einen oberen Index bezeichnet. In einem kartesischen Koordinatensystem sind kovariante und kontravariante Vektoren nicht zu unterscheiden; deswegen lässt man in diesem Fall den oberen Index weg.

Nun können wir Tensoren 2. Stufe definieren:

T ' m n = i , j = 1 n x ' m x i x ' n x j T i j kontravarianter Tensor 2. Stufe, T ' m n = i , j = 1 n x i x ' m x j x ' n T i j kovarianter Tensor 2. Stufe, T ' n m = i , j = 1 n x ' m x i x j x ' n T j i gemischter Tensor 2. Stufe.
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