Transformation von Tensorkomponenten

Drehen wir einen Körper im Raum, so ändern sich bei einem raumfesten Koordinatensystem zwar die Komponenten von $\mathit{u}$, $\mathit{w}$ und $\mathit{K}$, nicht aber die eigentlichen Körpereigenschaften. Gleiches gilt, wenn wir das Koordinatensystem drehen und der Körper raumfest bleibt. Folglich muss die entsprechende Matrix bestimmten Bedingungen hinsichtlich der linearen Transformationen genügen. In einem neuen Koordinatensystem gilt:

$$\mathit{w}\text{'}=\mathit{K}\text{'}\mathit{u}\text{'}.$$

Für jedes neue Koordinatensystem ist ${\mathit{w}}_{\mathit{x}}$ eine Linearkombination von ${\mathit{w}}_{\mathit{x}}$, ${\mathit{w}}_{\mathit{y}}$ und ${\mathit{w}}_{\mathit{z}}$. Entsprechendes gilt für ${\mathit{w}}_{\mathit{y}}$ und ${\mathit{w}}_{\mathit{z}}$:

$$\begin{array}{rcl}\mathit{w}{\text{'}}_{\mathit{x}}& =& {\mathit{a}}_{11}{\mathit{w}}_{\mathit{x}}+{\mathit{a}}_{12}{\mathit{w}}_{\mathit{y}}+{\mathit{a}}_{13}{\mathit{w}}_{\mathit{z}}\\ \mathit{w}{\text{'}}_{\mathit{y}}& =& {\mathit{a}}_{21}{\mathit{w}}_{\mathit{x}}+{\mathit{a}}_{22}{\mathit{w}}_{\mathit{y}}+{\mathit{a}}_{23}{\mathit{w}}_{\mathit{z}}\\ \mathit{w}{\text{'}}_{\mathit{z}}& =& {\mathit{a}}_{31}{\mathit{w}}_{\mathit{x}}+{\mathit{a}}_{32}{\mathit{w}}_{\mathit{y}}+{\mathit{a}}_{33}{\mathit{w}}_{\mathit{z}}.\end{array}$$

${\mathit{w}}_{\mathit{x}}$, ${\mathit{w}}_{\mathit{y}}$ und ${\mathit{w}}_{\mathit{z}}$ lassen sich durch $\mathit{K}$ und $\mathit{u}$ wie folgt ausdrücken:

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{w}}_{\mathit{x}}& =& {\mathit{K}}_{\mathit{x}\mathit{x}}{\mathit{u}}_{\mathit{x}}+{\mathit{K}}_{\mathit{x}\mathit{y}}{\mathit{u}}_{\mathit{y}}+{\mathit{K}}_{\mathit{x}\mathit{z}}{\mathit{u}}_{\mathit{z}}\\ {\mathit{w}}_{\mathit{y}}& =& {\mathit{K}}_{\mathit{y}\mathit{x}}{\mathit{u}}_{\mathit{x}}+{\mathit{K}}_{\mathit{y}\mathit{y}}{\mathit{u}}_{\mathit{y}}+{\mathit{K}}_{\mathit{y}\mathit{z}}{\mathit{u}}_{\mathit{z}}\\ {\mathit{w}}_{\mathit{z}}& =& {\mathit{K}}_{\mathit{z}\mathit{x}}{\mathit{u}}_{\mathit{x}}+{\mathit{K}}_{\mathit{z}\mathit{y}}{\mathit{u}}_{\mathit{y}}+{\mathit{K}}_{\mathit{z}\mathit{z}}{\mathit{u}}_{\mathit{z}}.\end{array}$$

Auf diese Weise erhält man:

$$\begin{array}{rcl}\mathit{w}{\text{'}}_{\mathit{x}}& =& {\mathit{a}}_{11}({\mathit{K}}_{\mathit{x}\mathit{x}}{\mathit{u}}_{\mathit{x}}+{\mathit{K}}_{\mathit{x}\mathit{y}}{\mathit{u}}_{\mathit{y}}+{\mathit{K}}_{\mathit{x}\mathit{z}}{\mathit{u}}_{\mathit{z}})\\ & +& {\mathit{a}}_{12}({\mathit{K}}_{\mathit{y}\mathit{x}}{\mathit{u}}_{\mathit{x}}+{\mathit{K}}_{\mathit{y}\mathit{y}}{\mathit{u}}_{\mathit{y}}+{\mathit{K}}_{\mathit{y}\mathit{z}}{\mathit{u}}_{\mathit{z}})\\ & +& {\mathit{a}}_{13}({\mathit{K}}_{\mathit{z}\mathit{x}}{\mathit{u}}_{\mathit{x}}+{\mathit{K}}_{\mathit{z}\mathit{y}}{\mathit{u}}_{\mathit{y}}+{\mathit{K}}_{\mathit{z}\mathit{z}}{\mathit{u}}_{\mathit{z}}).\end{array}$$

Entsprechendes gilt für $\mathit{w}{\text{'}}_{\mathit{y}}$ und $\mathit{w}{\text{'}}_{\mathit{z}}$. Jetzt drückt man ${\mathit{u}}_{\mathit{x}}$, ${\mathit{u}}_{\mathit{y}}$ und ${\mathit{u}}_{\mathit{z}}$ durch $\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{x}}$, $\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{y}}$ und $\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{z}}$ aus:

$$\begin{array}{rcl}{\mathit{u}}_{\mathit{x}}& =& {\mathit{b}}_{11}\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{x}}+{\mathit{b}}_{12}\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{y}}+{\mathit{b}}_{13}\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{z}}\\ {\mathit{u}}_{\mathit{y}}& =& {\mathit{b}}_{21}\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{x}}+{\mathit{b}}_{22}\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{y}}+{\mathit{b}}_{23}\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{z}}\\ {\mathit{u}}_{\mathit{z}}& =& {\mathit{b}}_{31}\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{x}}+{\mathit{b}}_{32}\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{y}}+{\mathit{b}}_{33}\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{z}}.\end{array}$$

Die Koeffizienten ${\mathit{b}}_{\mathit{i}\mathit{j}}$ hängen von ${\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}$ ab. So erhält man $\mathit{w}{\text{'}}_{\mathit{x}}$, $\mathit{w}{\text{'}}_{\mathit{y}}$ und $\mathit{w}{\text{'}}_{\mathit{z}}$, ausgedrückt durch $\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{x}}$, $\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{y}}$ und $\mathit{u}{\text{'}}_{\mathit{z}}$, d.h., man hat die neuen Koeffizienten ($\mathit{K}{\text{'}}_{\mathit{m}\mathit{n}}$) durch die alten (${\mathit{K}}_{\mathit{m}\mathit{n}}$ und ${\mathit{a}}_{\mathit{i}\mathit{j}}$ und ${\mathit{b}}_{\mathit{i}\mathit{j}}$) ausgedrückt.

In der Matrixschreibweise:

$$\begin{array}{ll}& \mathit{w}=\mathit{K}\mathit{u}\\ & \mathit{w}\text{'}=\mathit{A}\mathit{w}\text{und}\mathit{u}\text{'}=\mathit{A}\mathit{u}\\ \Rightarrow & \mathit{w}\text{'}=\mathit{A}\mathit{K}\mathit{u}\\ & \mathit{u}={\mathit{A}}^{-1}\mathit{u}\text{'}=\mathit{B}\mathit{u}\text{'}\\ \Rightarrow & \mathit{w}\text{'}=\mathit{A}\mathit{K}\mathit{B}\mathit{u}\text{'}=\mathit{K}\text{'}\mathit{u}\text{'}\\ \Rightarrow & \mathit{K}\text{'}=\mathit{A}\mathit{K}\mathit{B}.\end{array}$$

Unter Zugrundelegung eines willkürlich gewählten Koordinatensystems sind die Körpereigenschaften durch die Koeffizienten ${\mathit{K}}_{\mathit{m}\mathit{n}}$ vollständig erfasst. Eine Transformation des Koordinatensystems hat für die ${\mathit{K}}_{\mathit{m}\mathit{n}}$ eine Veränderung zur Folge.