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Tensoren

Was sind Tensoren?

In chemischen und physikalischen Experimenten werden Stoffe und Moleküle experimentellen Größen ausgesetzt (mechanische Druck- oder Zugbelastung, elektrisches oder magnetisches Feld), die vektoriell beschrieben werden (Ursachevektor u ). Gemessen wird jeweils eine Größe (elastische Deformation des Stoffes, elektrische Polarisierung des Stoffes bzw. magnetische Effekte in Molekülen gemäß der NMR-Spektroskopie), die ebenfalls durch einen Vektor beschrieben wird (Wirkungsvektor w ).

Zwischen Ursache- und Wirkungsvektor besteht bei diesen Systemen oft ein linearer Zusammenhang. Ist der untersuchte Stoff isotrop (z.B. Flüssigkeiten), so hat der Wirkungsvektor die gleiche Achsenlage wie der Ursachevektor. Es gilt die einfache Beziehung:

w = K u .

K ist eine skalare Größe, die den isotropen Stoff kennzeichnet. Anisotrope Stoffe (z.B. Einkristalle) verhalten sich anders: die Linearität zwischen Ursache und Wirkung bleibt zwar erhalten, u und w weisen aber meist verschiedene Richtungen auf. Der Zusammenhang zwischen u und w lässt sich bei anisotropen Systemen mit Hilfe linearer Gleichungssysteme formulieren. Um das Prinzip zu verdeutlichen, tun wir dies zunächst im x , y -Koordinatensystem.

  • Ursachevektor u in x -Richtung: u x = u x i w = w x i + w y j . Der Ursachevektor erzeugte einen Wirkungsvektor mit einer x - und einer y -Komponente, die alle proportional zu u x sind. Es folgt w x = K x x u x w y = K y x u x . Der erste Buchstabe der Proportionalitätskonstanten K x x , K y x bezieht sich auf die betreffende Komponente des Wirkungsvektors, der zweite auf die Richtung des Ursachevektors.
  • Ursachevektor u in y -Richtung: u y = u y j w = w x i + w y j . Der Ursachevektor erzeugte einen Wirkungsvektor mit einer x - und einer y -Komponente, die alle proportional zu u y sind. Es folgt w x = K x y u y w y = K y y u y .
  • Der Ursachevektor u ist die Addition beider Komponenten in x , y /paragraph> -Richtung: u = u x i + u y j w = w x i + w y j . Die Komponenten des Wirkungsvektors sind dann gleich der Summe der entsprechenden Komponenten in den zwei obigen Fällen. Es muss gelten: w x = K x x u x + K x y u y w y = K y x u x + K y y u y . Matrixschreibweise w x w y = K x x K x y K y x K y y u x u y w = K u .
Abb.1
Vektoraddition von Ursache- und Wirkungsvektoren in einem anisotropen Stoff

Im dreidimensionalen Fall entsteht eine 3 × 3 -Matrix K , für die natürlich ebenso w = K u gilt.

K = K x x K x y K x z K y x K y y K y z K z x K z y K z z

Ihre neun reellen Komponenten K x x , K x y , , K z z charakterisieren den Stoff, den man durch das Symbol K m n darstellen kann. Das System von Koeffizienten K m n nennt man einen Tensor. Man sagt, die Koeffizienten bilden den Tensor K m n .

Im Allgemeinen wird K m n als Tensor 2. Stufe oder als Dyade bezeichnet, da er zwei Indizes hat. Entsprechend stellen skalare α (ohne Index) und vektorielle Größen v i (mit einem Index) aus Chemie und Physik Tensoren 0. und 1. Stufe dar. Sie sind (im 3D-Raum) durch eine, drei bzw. neun Komponenten charakterisiert. Diese „Stufen”-Notierung der so genannten Tensorrechnung ist allerdings nicht leicht zu handhaben. Für die Beschreibung physikalisch-chemischer Gesetzmäßigkeiten ist es bequemer und im übrigen völlig ausreichend, wenn man von Skalaren, Vektoren und Matrizen spricht. Damit sind Tensoren 0., 1. resp. 2. Stufe gemeint.

Hinweis
Die Tensoren aus der Chemie sind durch reelle, symmetrische Matrizen bezüglich eines vorgegebenen Koordinatensystems bestimmt (d.h. K m n = K n m ). Allerdings ist nicht jedem beliebigen Tensor eine solche Matrix zugeordnet.
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