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Diagonalisierung von Matrizen

Diagonalisierbarkeit einer Matrix

Eine n × n -Matrix A ist diagonalisierbar, wenn sie zu einer Diagonalmatrix D ähnlich ist, d.h., wenn es eine invertierbare Matrix S gibt mit

D = S -1 A S .

Das charakteristische Polynom von A ist

det ( A - λ E ) = 0.

Es besitzt n Nullstellen (Eigenwerte). Die Eigenvektoren s 1 , s 2 , , s n einer n × n -Matrix A mit n verschiedenen Eigenwerten bilden eine Basis für n bzw. n (siehe Satz). Eine n × n -Matrix S , deren Spaltenvektoren eine Basis für n bzw. n bilden, ist stets invertierbar ( S hat Rang n ). Sind ihre Spaltenvektoren s 1 , s 2 , , s n gerade, dann ist S -1 A S eine Diagonalmatrix.

Die interessante Frage ist nun, unter welchen Bedingungen Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten diagonalisierbar sind. Ist m i die algebraische Vielfachheit der Nullstelle λ i , dann ist

det ( A - λ E ) = i = 1 t ( λ - λ i ) m i = 0

mit

n = i = 1 t m i .

Die Bedingung für die Diagonalisierbarkeit einer Matrix A ist im folgenden Satz enthalten:

Theorem
Eine reelle oder komplexe n × n -Matrix A ist diagonalisierbar, wenn
rg ( A - λ i E ) = n - m i
für alle Eigenwerte λ i (algebraische Vielfachheit m i ) von A gilt.
Beispiel

Die Matrix

A = 3 1 -1 1

( n = 2 ) hat nur einen Eigenwert, nämlich λ = 2 (siehe Link). Seine algebraische Vielfachheit ist m = 2 . Die Matrix

A - λ E = A - 2 E = 3 1 -1 1 - 2 0 0 2 = 1 0 -1 -1

hat Rang 2 und somit ist die Bedingung rg ( A - λ E ) = n - m nicht erfüllt ( n - m = 0 ). Folglich ist A nicht diagonalisierbar.

Für eine reelle 2 × 2 -Matrix A gibt es eine reelle invertierbare 2 × 2 -Matrix S , für die A ' = S -1 A S durch eine der folgenden drei Alternativen gegeben ist:

A ' = λ 1 0 0 λ 2 ,
A ' = λ 1 0 λ ,
A ' = a b - b a ,

wobei λ 1 , λ 2 , λ , a und b reelle Zahlen sind. Hat A zwei verschiedene reelle Eigenwerte λ 1 und λ 2 , dann müssen ihre Eigenvektoren linear unabhängig sein (siehe Satz), also bilden sie eine Basis für 2 und somit ist A diagonalisierbar, d.h. A ist zu ähnlich. Sind λ 1 und λ 2 gleich, dann ist A entweder zu (also diagonalisierbar) oder zu (also nicht diagonalisierbar) ähnlich. Besitzt A keine reelle Eigenwerte, dann ist sie zu ähnlich (also nicht mit einer reellen Matrix S diagonalisierbar).

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