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Eigenwerte einer Matrix

Beweis einiger Sätze

Wir beweisen nur drei Aussagen, nämlich

  1. dass die Eigenwerte einer hermiteschen Matrix immer reell sind,
  2. dass Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind und
  3. dass die Eigenwerte einer orthogonalen bzw. unitären Matrix immer den Betrag 1 haben.

Für den Beweis der anderen Aussagen sei auf die Literatur verwiesen.

Einige Vorbemerkungen: Das Skalarprodukt zweier n -dimensionaler komplexer Vektoren x , y ist definiert durch

x y = k = 1 n x k * y k .

Hieraus ergeben sich für jeden komplexen Skalar α folgende Rechenregeln:

x ( α y ) = α ( x y ) ,
( α x ) y = α * ( x y ) .

Ferner prüft man leicht nach, dass für jede komplexe n × n -Matrix A gilt:

x A y = A + x y für alle x , y n .

Ist A hermitesch, dann A + = A und damit

x A y = A x y für alle x , y n .

Alle Formeln gelten auch im reellen Fall (d.h. x , y , α , A reell). Es kann dann der Stern * für das konjugiert Komplexe weggelassen und A + durch A T ersetzt werden.

Beweis 1

Zeigen wir nun, dass die Eigenwerte einer hermiteschen Matrix A stets reell sind, auch wenn A selbst nicht reell ist. Sei λ ein Eigenwert von A und x ein Eigenvektor von A zu λ . Er sei normiert gewählt (d.h. | x | = 1 ), was immer möglich ist. Dann haben wir folgende Gleichungskette (Erläuterungen s.u.):

λ = λ | x | 2 = λ x x = x ( λ x ) = x A x = A x x = ( λ x ) x = λ * x x = λ * | x | 2 = λ * .

Das erste Gleichheitszeichen ist klar, das zweite gilt, weil die Länge oder Norm von x (im reellen wie komplexen Fall) durch

| x | = x x 1 / 2

definiert ist, bei den übrigen Gleichheitszeichen haben wir die oben bereitgestellten Regeln angewendet. Es gilt also λ * = λ , also ist λ reell.

Beweis 2

Als nächstes wollen wir beweisen, dass Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind. Sei A wieder hermitesch angenommen (reell oder komplex). Seien a 1 und a 2 Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ 1 bzw. λ 2 . Es gelte λ 1 λ 2 . Dann

λ 2 ( a 1 a 2 ) = a 1 ( λ 2 a 2 ) = a 1 A a 2 = A a 1 a 2 = ( λ 1 a 1 ) a 2 = ( λ 1 ) * ( a 1 a 2 ) = λ 1 ( a 1 a 2 )

Das erste Gleichheitszeichen besteht wegen der Rechenregel , das zweite deswegen, weil a 2 nach Voraussetzung Eigenvektor von A zum Eigenwert λ 2 ist, das dritte wegen , das vierte deswegen, weil a 1 nach Voraussetzung Eigenvektor von A zum Eigenwert λ 1 ist, das fünfte wegen , das sechste und letzte schließlich, weil λ 1 als Eigenwert einer hermiteschen Matrix reell sein muss. Wir haben also

λ 2 ( a 1 a 2 ) = λ 1 ( a 1 a 2 ) .

Dies kann nur erfüllt sein, wenn λ 1 = λ 2 oder a 1 a 2 = 0 . Die erste Möglichkeit scheidet aus, da nach Voraussetzung λ 1 λ 2 . Also a 1 a 2 = 0 , deshalb sind a 1 und a 2 orthogonal.

Beweis 3

Zur letzten Aussage: Betrachten wir den komplexen Fall (der reelle lässt sich daraus leicht ableiten). Sei eine komplexe unitäre n × n -Matrix A gegeben. Für jede solche Matrix gilt

A x A y = x y für alle x , y n ,

wie man sich leicht klar macht (man setze in A x für x ein und berücksichtige A + A = I . Sei λ Eigenwert von A und a ein normierter Eigenvektor von A zu λ . Dann

1 = | a | 2 = a a = A a A a = ( λ a ) ( λ a ) = λ * λ ( a a ) = | λ | 2 1 = | λ | 2 .

Für das dritte Gleichheitszeichen wurde benutzt, für das vierte die Tatsache, dass a Eigenvektor von A zu λ ist, für das fünfte die Rechenregeln und , der Rest ist klar. Wir haben | λ | 2 = 1 und damit | λ | = 1 , d.h. λ hat die Form e i φ , was wir auch beweisen sollten. Im reellen Fall (wo A reell ist und nur reelle Zahlen als Eigenwerte zugelassen sind) ist obiges ebenfalls anwendbar, nur schränkt | λ | = 1 die möglichen Werte von λ auf 1 und -1 ein.

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