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Eigenwerte einer Matrix

Gram-Schmidt´sches Orthonormalisierungsverfahren

Häufig erhält man bei der Lösung eines linearen homogenen Gleichungssystems durch genaues Hinsehen und etwas Geschick sofort orthogonale Vektoren. Die Normierung stellt nie ein Problem dar. Was aber tun, wenn zunächst lediglich linear unabhängige und nicht orthogonale Vektoren herauskommen? Hier hilft das so genannte Gram-Schmidt´sche Orthonormalisierungsverfahren, ein systematisches Schema zur Orthonormalisierung von Vektoren: Sind m linear unabhängige Vektoren x 1 , , x m aus n gegeben, so konstruieren wir rekursiv m neue Vektoren y 1 , , y m durch

y 1 = 1 | x 1 | x 1

und

y k +1 = 1 | y ' k +1 | y ' k +1

für k = 1 , , n -1 , wobei

y ' k +1 = x k +1 - j = 1 k x k +1 y j y j .

y 1 , , y m sind paarweise orthogonal, normiert und spannen den gleichen Unterraum des n auf wie x 1 , , x m , d.h. die Menge aller Linearkombinationen der y k ' s ist mit der aller Linearkombinationen der x k ' s identisch.

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