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Eigenwerte einer Matrix

Beispiel: Null Eigenwert einer 2 × 2 -Matrix

Eigenwertproblem der Matrix

A = 0 0 0 1 .

Charakteristisches Polynom:

0 - λ 0 0 1 - λ = - λ ( 1 - λ ) = λ 2 - λ .

A hat demnach zwei Eigenwerte, nämlich λ 1 = 1 und λ 2 = 0 .

Eigenvektoren zum Eigenwert λ 1 = 1 : das lineares Gleichungssystem

-1 x 1 + 0 x 2 = 0 0 x 1 + 0 x 2 = 0

ergibt x 1 = 0 und x 2 beliebig. Die Lösungsmenge D 1 besteht aus allen Vektoren

x = 0 x 2 ,

d.h. die Eigenvektoren zum Eigenwert eins liegen auf der x 2 -Achse

0 0 0 1 0 x 2 = 1 0 x 2 .

Eigenvektoren zum Null Eigenwert λ 2 = 0 : das lineare Gleichungssystem

0 x 1 + 0 x 2 = 0 0 x 1 + 1 x 2 = 0

ergibt x 2 = 0 und x 1 beliebig. Die Lösungsmenge D 2 besteht aus allen Vektoren

x = x 1 0 .

d.h., die Eigenvektoren zum Eigenwert Null liegen auf der x 1 -Achse

0 0 0 1 x 1 0 = 0 x 1 0 = 0 0 .
Abb.1
2 × 2 -Matrix mit einem Eigenwert Null

A ist eine Projektionsmatrix, da sie einen Vektor x 1 x 2 auf die x 2 -Achse projiziert

0 0 0 1 x 1 x 2 = 0 x 2 .

Diese Abbildung ist nicht invertierbar (keine affine Abbildung), d.h. A ist singulär.

Kern einer Matrix

Gegeben sei eine Transformationsmatrix A auf einen Vektorraum V , z.B. V = n für eine n × n reelle Matrix. Jeder Vektor x , der durch A auf den Nullvektor 0 abgebildet wird, gehört zum Kern von A :

Kern A = { x V | A x = 0 } .

Der Kern von A ist ein Unterraum von V . Jeder Vektor x 0 in Kern A ist ein Eigenvektor zum Eigenwert Null.

Theorem
Eine Matrix ist genau dann singulär, wenn mindestens ein Eigenwert Null ist.
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