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Eigenwerte einer Matrix

Beispiel: Komplexe Eigenwerte einer 2 × 2 -Matrix

Eigenwertproblem der Matrix

A = 2 5 -1 -2 .

Charakteristisches Polynom:

2 - λ 5 -1 -2 - λ = - ( 2 - λ ) ( 2 + λ ) + 5 = λ 2 + 1 .

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind komplex: nämlich λ 1 = i und λ 2 = - i . Die reelle Matrix A hat also nur komplexe Eigenwerte, i und - i , und folglich nur komplexe Eigenvektoren.

Eigenvektor zu λ 1 = i :

x 1 = -2 - i 1 .

Eigenvektor zu λ 2 = - i :

x 2 = -2 + i 1 = x 1 * .

Um diese komplexen Vektoren zu visualisieren, würde man eigentlich 4 Achsen benötigen, zwei komplexen Komponenten zu je einer komplexen Ebene.

Die Tatsache, dass A nur komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren besitzt, lässt sich mittels der folgenden Animation veranschaulichen. Der Vektor A x wird nie zum reellen Vektor x kollinear:

A x λ x für alle λ , x 2 ,

wie man durch Drehung des Vektors x leicht feststellen kann.

Abb.1
Eigenwertproblem der 2 × 2 reellen Matrix mit komplexen Eigenwerten
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