zum Directory-modus

Eigenwerte einer Matrix

Beispiel: Zwei identische Eigenwerte einer 3 × 3 -Matrix

Eigenwertproblem der Matrix

A = 2 2 1 1 3 1 1 2 2 .

Charakteristisches Polynom:

2 - λ 2 1 1 3 - λ 1 1 2 2 - λ .

Entwickeln der Determinante nach der ersten Zeile ergibt

( 2 - λ ) 3 - λ 1 2 2 - λ -2 1 1 1 2 - λ + 1 3 - λ 1 2

und weiteres Ausrechnen (Zwischenschritte ausgelassen)

- λ 3 + 7 λ 2 -11 λ + 5 .

Dies ist ein Polynom dritten Grades. Seine erste Nullstelle erhalten wir durch Raten:

λ 1 = 1 .

Weiter geht es mit Polynomdivision:

( - λ 3 + 7 λ 2 - 11 λ + 5 ) / ( λ - 1 ) = - λ 2 + 6 λ - 5 - λ 3 + λ 2 6 λ 2 - 11 λ 6 λ 2 - 6 λ -5 λ + 5 -5 λ + 5 0 .

Vom verbleibenden Polynom zweiten Grades können wir dann die Nullstellen wie üblich berechnen:

λ 2 , 3 = 3 ± ( 9 - 5 ) 1 / 2 = 3 ± 2 ,

also

λ 2 = 5 , λ 3 = 1 .

λ 3 ist mit λ 1 identisch. A hat also zwei verschiedene Eigenwerte, λ 1 = 1 und λ 2 = 5 , mit den algebraischen Vielfachheiten 2 bzw. 1 . Bestimmen wir die Eigenvektoren zu λ 1 . Das entsprechende Gleichungssystem

x 1 + 2 x 2 + x 3 = 0 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 0 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 0

enthält drei gleiche Zeilen; wir haben es also effektiv nur mit einer Bedingung zu tun, nämlich

x 1 + 2 x 2 + x 3 = 0 .

Das ist eine Gleichung für drei Unbekannte, wir können also zwei vorgeben und die dritte ausrechnen (bzw. die dritte durch die anderen beiden ausdrücken). Es ist etwas geschickter, statt dessen zwei frei vorgebbare Parameter c und d einzuführen, die mit x 1 und x 3 gemäß

x 1 = 2 c und x 3 = 2 d

verknüpft sind. Mit ergibt sich dann

x 2 = - c - d .

für x 2 . Zusammenfassen von x 1 , x 2 , x 3 zu einem Vektor x liefert die kompaktere Darstellung

x = 2 c - c - d 2 d ,

was wir auch als

x = c 2 -1 0 + d 0 -1 2

schreiben können. Da die beiden Vektoren auf der rechten Seite,

a 1 : = 2 -1 0 und a 2 : = 0 -1 2 ,

offensichtlich linear unabhängig sind, können wir hieran folgendes ablesen: Die Vektoren bilden eine Basis im Eigenraum D 1 von A zum Eigenwert λ 1 . Da es sich um zwei Vektoren handelt, ist D 1 zweidimensional, also λ 1 geometrisch zweifach entartet. Also stimmt die geometrische Vielfachheit dieses Eigenwerts mit seiner algebraischen Vielfachheit überein. Es bleibt noch der Eigenraum D 2 zum anderen Eigenwert λ 2 = 5 zu berechnen. Wir geben nur das Ergebnis an: D 2 wird vom Vektor

a 3 : = 1 1 1

aufgespannt, ist also eindimensional, damit ist die geometrische Vielfachheit von λ 2 (wie die algebraische) eins. Anschaulich stellt D 1 eine Ebene und D 2 eine Gerade dar (siehe (Abb. 1) ).

Abb.1
Zu Beispiel 3. Darstellung der Eigenvektoren a 1 , a 2 , a 3 und der Eigenräume D 1 (hellblaue Fläche) und D 2 (graue Linie).

Sehen wir uns die Orthogonalitätseigenschaften der Vektoren an. Dazu berechnen wir die Skalarprodukte

a 1 a 2 = 0 + 1 + 0 = 1 , a 1 a 3 = 2 - 1 + 0 = 1 , a 2 a 3 = 0 - 1 + 2 = 1 .

Die Vektoren sind also nicht orthogonal. Mit a 1 und a 3 haben wir damit ein weiteres Beispiel für zwei zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren, die nicht orthogonal sind; das gleiche gilt für a 2 und a 3 . a 1 und a 2 gehören zum selben Eigenwert, können also orthogonalisiert, d.h. durch orthogonale, dieselbe Ebene D 1 aufspannende Vektoren ersetzt werden. Wir benutzen dazu das Gram-Schmidt´sche Orthonormalisierungsverfahren, das auch gleich für die Normierung sorgt. Danach sind die neuen Vektoren

b 1 = 1 | a 1 | a 1 und b 2 = 1 | b ' 2 | b ' 2 ,

wobei b ' 2 gegeben ist durch

b ' 2 = a 2 - a 2 b 1 b 1 .

Die Berechnung von | a 1 | ergibt ( 4 +1 +0 ) 1 / 2 = 5 , also

b 1 = 1 5 2 -1 0

und

b ' 2 = 0 -1 2 - 1 5 ( 0 + 1 + 0 ) 1 5 2 -1 0 = 0 -1 2 - 1 5 2 -1 0 = -2 / 5 -4 / 5 10 / 5 = 2 5 -1 -2 5 ,

damit ist | b ' 2 | = ( 2 / 5 ) ( 1 +4 +25 ) 1 / 2 = ( 2 / 5 ) 30 und wir erhalten für den zweiten Vektor

b 2 = 1 30 -1 -2 5 .
Seite 5 von 11